Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les expressions des fonctions du second degré

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Formes d'écriture des fonctions du second degré

Le texte qui suit est destiné aux élèves de seconde. Ce point du programme est une synthèse de plusieurs autres (fonction carré, factorisation, tableaux de variation…)

L’expression d’une fonction du second degré contient un x à la puissance 2 et éventuellement un x à la puissance 1, à l’exclusion d’un autre terme contenant x. Elle peut s’écrire sous plusieurs formes. La plus simple est la forme développée, de type f(x) = ax² + bx + c avec a différent de 0. Une autre écriture est la forme canonique :

forme canonique

Enfin, il existe une forme factorisée. Mais toutes les fonctions du second degré ne sont pas factorisables.

En classe de seconde, les exercices consistent d’abord à IDENTIFIER une fonction du second degré. Il faut alors développer puis réduire l’expression de l’énoncé pour vérifier qu'elle s’écrit bien sous la forme ax² + bxc.

Exemple : f(x) = (x + 2)² – (x – 3)²

Développons :  + 4x + 4 – ( – 6x + 9) = 10x – 5

Contrairement aux apparences, ce n’était pas une fonction du second degré mais une fonction affine (bien déguisée).

Autre exemple : g(x) = x + (x² / 4). Il s’agit bien cette fois d’une fonction du second degré, avec a = ¼, b = 1 et c = 0.

Un autre point important est la détection de l’extremum. En effet, une fonction du second degré se traduit graphiquement par une parabole dont il faut trouver le point de retournement (un minimum si a > 0 ou un maximum si a < 0). Si l’on dispose de la forme canonique c’est tant mieux car c’est la plus pratique pour connaître l’emplacement du point en question. Ses coordonnées sont (α ; β).

La forme développée est quand à elle la plus indiquée pour connaître rapidement f(0), c’est-à-dire là où la courbe coupe l’axe des ordonnées, puisqu’il s’agit fort logiquement de c. C’est aussi la plus pratique pour déterminer la plupart des points de la courbe lorsqu’on a oublié sa calculatrice.

Enfin, la forme factorisée permet de trouver sans mal le ou les deux points pour lesquels f(x) = 0, là où la courbe coupe l’axe des abscisses (un produit de facteurs est nul si l’un des facteurs est nul). Mais toutes les paraboles ne coupent pas cet axe. C’est pourquoi la forme factorisée n’existe pas pour toutes les fonctions du second degré.

Application

Soit les fonctions f et g définies sur R par f(x) = (x + 2)² – 9 et g(x)= (x + 5)(x – 1).

Montrer que f et g ne font qu’une seule et unique fonction. Résoudre sans calculatrice f(x) = 0, puis calculer f(0) et les coordonnées de l’extremum.

Corrigé : cet exercice est assez classique et somme toute très simple. Il faut juste penser à une chose : lorsqu’on cherche à montrer que deux expressions de fonctions sont identiques, il faut déterminer de laquelle on part pour arriver à l’autre. Mais si l’on ne sait pas par laquelle commencer, on peut modifier les deux pour arriver à une troisième. En l’occurrence, développons f et g pour constater que le résultat est le même. Allons-y.

f(x) = x² + 4x + 4 – 9 =  + 4x – 5
g(x) = x² – x + 5x – 5 = x² + 4x – 5

Ô joie ! Nous arrivons au même résultat. Donc, f et g sont la même fonction.

Pour résoudre f(x) = 0, le plus simple consiste à prendre la forme factorisée. Il apparaît aussitôt que les solutions sont {-5 ; 1}. Pour connaître f(0), il suffit de prendre la forme développée. Donc f(0) = -5. Enfin, l’extremum est un minimum puisque la forme développée nous indique a = 1 (nombre positif). Ses coordonnées sont (-2 ; -9). La forme canonique nous les donne directement.

Notez qu’il n’est pas nécessaire de disposer des trois formes pour répondre aux questions. Simplement, la recherche risque d’être moins immédiate (ou d’être au programme de première). Par exemple si les solutions de f(x) = 0 sont -5 et 1, il suffit de faire leur moyenne (donc (-5 + 1) / 2 = -2) pour obtenir l’abscisse du minimum puis de déterminer l’image de -2 pour obtenir son ordonnée.

Ci-dessous apparaît sous nos yeux ébahis la parabole, réalisée sur Sine Qua Non. Tous les résultats ci-dessus sont bien visibles :

parabole

NB : en seconde, les calculs de minimum ou de maximum par la calculatrice ne sont pas très utiles, d’autant qu’ils ne sont pas réalisés sur l’ensemble de définition mais sur un intervalle à définir.

Quiz graphique : voici trois courbes et trois expressions de fonctions.

quiz

Auriez-vous su affecter les bonnes expressions aux bonnes courbes ? C’est possible en ne s’intéressant qu’au coefficient a (donc devant ). La courbe verte est la plus facile à identifier puisqu’elle est la seule à monter puis à descendre. a est donc négatif. La courbe rouge est beaucoup plus évasée que la bleue, très serrée. Le coefficient a est donc beaucoup plus petit (en l’occurrence, 0,5).

Les trois formes factorisées sont elles aussi simples à identifier : f1(x) = 0,5(x + 2)². L’équation f1(x) = 0 n’admet qu’une seule solution. Donc la courbe ne fait que toucher l’axe des abscisses en un point, sans traverser. De même, on pourrait constater que f2(x) = 0 admet une solution positive et une négative, tandis que f3(x) = 0 admet deux solutions négatives. Pour information :

formes factorisées

 

deux degrés

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés