Deux démonstrations sur le second degré

Démonstrations et forme canonique

 

En classe de première générale, deux formules sont habituellement démontrées en début d'année : celle de la forme canonique d'un polynôme du second degré obtenue à partir de la forme développée et celle du discriminant, qui s'appuie sur la précédente. Au cas où vous auriez du mal à les comprendre ou à les assimiler, elles sont expliquées en détail ici-même.

 

La forme canonique

Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a,\) \(b\) et \(c\) réels et \(a \ne 0.\) Vous avez reconnu la forme développée.

Factorisons les deux premiers termes par \(a.\) Comme \(a\) n'apparaît pas dans le second terme, celui-ci ne peut être multiplié par \(a\) que s'il est en même temps divisé par \(a.\) L'opération est possible puisque \(a\) n'est pas nul.

\(f(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x \right) + c\)

C'est ici qu'intervient le passage le plus délicat. La forme canonique contient la forme factorisée d'une identité remarquable qu'il nous faut faire apparaître, c'est-à-dire une expression de type \((x \pm m)^2.\)

L'expression que nous avons mise entre parenthèses doit se comprendre comme le début de la forme développée de l'identité. \(x^2\) ne pose pas de problème, il signifie que le premier terme de l'expression cherchée est bien \(x.\)

\(\frac{b}{a}x\) est donc le double produit (\(2 \times x \times m).\) À quoi \(m\) doit-il être égal pour que nous retombions sur nos pattes ? À la moitié de \(\frac{b}{a}\) donc à \(\frac{b}{2a}.\)

D'accord mais si nous développons \(\left(x + \frac{b}{2a} \right)^2\) nous serons embarrassés d'un troisième terme qui n'est autre que le carré de \(\frac{b}{2a}\). Il faut donc retirer ce carré de la forme factorisée pour retomber sur notre expression de départ.

\(f(x) = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a} \right)^2 \right] + c\)

Utilisons une propriété des puissances.

\(f(x) = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{2^2a^2}\right] + c\)

Supprimons les crochets.

\(f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{ab^2}{4a^2} + c\)

Simplifions le deuxième terme par \(a.\)

\(f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c\)

Réunissons les deux derniers termes.

\(f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}\)

C'est la forme canonique. On écrit sa forme générale ainsi : \(a(x - \alpha)^2 + \beta\). Notre démonstration nous précise donc que \(\alpha = -\frac{b}{2a}\) et \(\beta = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\)

En page forme canonique, vous trouverez un exemple chiffré qui suit toutes les étapes de la démonstration.

 

Le discriminant

Reprenons notre magnifique formule en posant \(\Delta = b^2 - 4ac.\)

Donc \(f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}\).

Combien de solutions l'équation \(f(x) = 0\) admet-elle ?

Étudions à présent trois possibilités selon le signe de \(\Delta.\) (démonstration par disjonction des cas).

1- \(\Delta < 0\)

\(a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a} = 0\)

\(\Leftrightarrow a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a} \)

\(\Leftrightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2} \)

Le premier membre est un carré, il est donc positif ou nul. Le second membre est strictement négatif puisque \(\Delta < 0\) et \(4a^2 \ge 0.\) Il ne peut donc y avoir égalité ! L'équation \(f(x) = 0\) n'admet aucune solution.

2- \(\Delta = 0\)

Comme \(a\) est un réel non nul, celà revient à poser \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = 0.\)

Donc \(x + \frac{b}{2a} = 0.\)

Une seule solution possible : \(-\frac{b}{2a}.\)

On la nomme habituellement \(x_0.\)

3- \(\Delta > 0\)

Transformons un peu l'écriture de notre formule.

\(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2} \)

\(\Leftrightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2 = 0\)

Nous retrouvons une vieille connaissance : la forme développée d'une identité remarquable. Si l'envie vous démange de la factoriser, ne vous gênez surtout pas.

\(\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left(x + \frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x + \frac{b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right) = 0\)

Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul.

\(x + \frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a} = 0\) ou \(x + \frac{b + \sqrt{\Delta}}{2a} = 0\)

\(x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) ou \(x = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = 0\)

L'équation \(f(x) = 0\) admet donc deux solutions. On les nomme habituellement \(x_1\) et \(x_2.\)

Les solutions d'un polynôme égal à zéro sont appelées les racines.

 

Factorisation

Le discriminant nous permet de factoriser un polynôme du second degré à partir de la forme développée, ce qui est plus pratique qu'avec la forme canonique.

Si \(\Delta < 0,\) la factorisation est impossible.

Si \(\Delta = 0,\) la forme factorisée est \(f(x) = a(x - x_0)^2.\)

Si \(\Delta > 0,\) elle s'écrit \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2).\)