Quelques inéquations avec exponentielle

Exercices d'inéquations avec exp

Cette page s'adresse surtout aux élèves de première générale qui ont fait connaissance avec la fonction exponentielle, puis se sont exercés sur les équations avec exponentielle. À présent, voici quelques exercices sur les inéquations.

 

Énoncés

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes.

A- \(e^{-2x + 3} < -3\)

B- \(e^{-x} < e^x\)

C- \((e^{x - 1})(e^{2x - 1} - e) \ge 0\)

D- \(\frac{e^{x-3} - 1}{e^x - e} \ge 0\)

E- \(2xe^{-x} - e^{-x} \ge 0\)

 

Corrigé A

Il ne faut pas oublier qu'une exponentielle est strictement positive ! Donc cette inéquation n'a pas de solution.

Une inéquation de type \(e^{-2x + 3} > 3\) admet quant à elle des solutions mais elle ne peut pas être résolue dans le cadre du programme de première.

 

Corrigé B

La fonction exponentielle étant strictement croissante, nous pouvons transformer notre inéquation ainsi :

\(-x < x\)
\( \Leftrightarrow 0 < 2x\)
\( \Leftrightarrow x > 0\)

\(S = ]0\,; +\infty[.\)

 

Corrigé C

On pourrait envisager un tableau de signes mais c'est inutile. Le premier facteur est positif. Inutile de nous encombrer, nous pouvons le laisser tomber.

En revanche, le second facteur peut être positif, négatif ou nul puisqu'il s'agit d'une soustraction de deux exponentielles.

Réécrivons notre inéquation.

\(e^{2x - 1} - e \ge 0\)
\( \Leftrightarrow e^{2x - 1} - e^1 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow e^{2x - 1}\ge e^1\)

Rappelons que la fonction exponentielle est strictement croissante. Donc...

\(2x - 1 \ge 1\)
\(\Leftrightarrow x \ge 1\)

\(S = [1\,; +\infty[\)

En complément, visualisons la représentation graphique de cette inéquation (on considère que le membre de gauche est l'expression d'une fonction).

courbe

Certes, la courbe n'est pas une preuve. Mais on devine aisément que la fonction est positive sur \([1\,; +\infty[.\)

 

Corrigé D

Le plan d'attaque doit vous être familier : études séparées du numérateur et du dénominateur puis synthèse avec un tableau de signes.

Le numérateur est \(e^{x-3} - 1\). La procédure est la même que pour l'exercice précédent.

\(e^{x-3} - e^0 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow x - 3 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow x \ge 3\)

Le dénominateur est \(e^x - e\). Rappelons que \(e = e^1.\)

\(e^x - e^1 > 0\)
\( \Leftrightarrow x > 1\)

Le tableau de signes est réalisé avec le logiciel SineQuaNon.

\(S = ]-\infty\, ; 1[ \cup [3\,;+\infty[\)

 

Corrigé E

Comme d'habitude, c'est le commencement qui peut laisser perplexe.

Ici, nous avons à la fois \(x\) et une exponentielle. Il faut avoir l'idée de factoriser.

\(2xe^{-x} - e^{-x} \ge 0\)
\(e^{-x}(2x - 1) \ge 0\)

Or, ce n'est un secret pour personne, l'exponentielle est toujours positive. Il suffit donc de déterminer le signe de \(2x - 1.\)

\(2x - 1 \ge 0\)
\(x \ge 0,5\)

\(S = [0,5\,; +\infty[\)