L'exponentielle d'une fonction affine

Fonction \(f : x\mapsto e^{ax + b}\)

Cette page a été rédigée à l’attention des élèves de première générale qui ont eu l’immense joie de découvrir la fonction exponentielle. Et comme un bonheur n’arrive jamais seul, voici une présentation de la composée affine d’une fonction exponentielle, agrémentée d’exercices corrigés.

 

Propriétés

Soit deux réels \(a\) (non nul) et \(b\). La fonction affine \(f :x\mapsto ax + b\) est définie sur \(\mathbb{R}.\) La fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = e^{ax+b}\) est strictement croissante si \(a > 0\) et décroissante si \(a < 0.\) Elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sa dérivée s’écrit \(g’(x) = ae^{ax+b}.\)

 

Exemples

L’exemple que l’on rencontre le plus souvent est la dérivée de \(f(x) = e^{-x}.\) En l’occurrence, \(f’(x) = -e^{-x}.\)

La dérivée de \(g(x) = e^{3x}\) est \(g’(x) = 3e^{3x}.\)

La dérivée de \(h(x) = -e^{-2x+1}\) est \(h’(x) = 2e^{-2x+1}.\)

 

Exercice 1

Soit les fonctions \(f :x \mapsto e^{x+2}\) et \(g :x \mapsto e^{-2x+3}\)

  • Déterminer leurs dérivées.
  • Déterminer le signe des dérivées et les variations de \(f\) et \(g.\)
  • Déterminer l’abscisse du point en lequel les courbes représentatives de \(f\) et \(g\) se croisent.

 

Corrigé 1

\(f’(x) = e^{x+2}\) et \(g’(x) = -2e^{-2x+3}\)

La fonction exponentielle étant strictement positive, \(f’\) est strictement positive et \(g’\) est strictement négative.

Par conséquent, \(f\) est strictement croissante et \(g\) strictement décroissante (inutile de l’illustrer par des tableaux, d’ailleurs non demandés).

On pose l’équation \(e^{x+2} = e^{-2x+3}\)

La fonction exponentielle étant strictement croissante, on peut écrire :

\(x + 2 = -2x + 3\)
\(⇔ 3x = 1\)
\(⇔ x = \frac{1}{3}\)

Les courbes se croisent au point d’abscisse \(\frac{1}{3}.\)

 

Exercice 2

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) comme suit :

\[f(x)  =\frac{e^{2x+3}}{x}\]

  • Déterminer une expression de la dérivée de \(f.\)
  • Dresser le tableau de signes de cette dérivée.
  • En déduire le tableau de variation de \(f.\)

 

Corrigé 2

Nous utilisons la formule de la dérivée d’un quotient de fonctions.

  • \(u(x) = e^{2x+3}\)
  • \(u’(x) = 2e^{2x+3}\)
  • \(v(x) = x\)
  • \(v’(x) = 1\)

\(f’(x) = \frac{u’(x)v(x) – v’(x)u(x)}{v(x)^2}\)

\(f’(x) = \frac{2xe^{2x+3} – e^{2x+3}}{x^2}\)

Vous devrez presque toujours factoriser lorsque vous devrez dériver un quotient ou un produit de fonctions avec exponentielles.

\(f’(x) = \frac{e^{2x+3}(2x – 1)}{x^2}\)

Nous savons que l’exponentielle est strictement positive. Le dénominateur non nul l'est aussi puisque c’est un carré. Par conséquent, le signe de \(f’\) est le signe de \(2x - 1.\)

\(2x - 1 > 0\)
\(\Leftrightarrow x > 0,5\)

 

Famille de fonctions exponentielles

Soit \(k ∈ \mathbb{R}_+^*\) et une fonction \(f_k\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_k = e^{kx}.\)

  • Quel est le sens de variation de \(f\) ?
  • Soit \(k’ > k.\) Comparer \(f(k)\) et \(f(k’).\)
  • Tracer les courbes représentatives de \(f_{0,1},\) \(f_{0,2},\) \(f_{0,3},\) \(f_{0,4},\) \(f_{0,5},\) \(f_{0,6},\) \(f_{0,8},\) et \(f_{1}.\)

 

Corrigé

La dérivée de \(f_k\) a pour expression \(f’(x) = ke^{kx}.\)

\(ke^{kx}\) est un produit de deux facteurs strictement positifs. Donc \(f’_k > 0\) et \(f_k\) est strictement croissante.

  • Si \(x < 0\) alors \(kx > k’x\) et comme la fonction exponentielle est strictement croissante, \(f(k) > f(k’).\)
  • Si \(x = 0\) alors \(f(k) =f(k’) = e^0 = 1.\)
  • Si \(x > 0\) alors \(kx < k’x\) et comme la fonction exponentielle est strictement croissante, \(f(k) < f(k’).\)

Tracés avec GeoGebra :