Les propriétés de l'exponentielle

Exercices sur les propriétés de l'exponentielle

Vous venez de faire connaissance avec l'exponentielle. Vous avez découvert ses propriétés et vous souhaitez vous entraîner à les utiliser. Vous êtes sur la bonne page. Les exercices ne doivent pas vous sembler difficiles car si vous remplacez \(e\) par \(x\), vous retombez sur les propriétés des puissances que vous connaissez depuis le collège.

Bien sûr, les exercices sont corrigés.

 

Exercice 1

Simplifier si c'est possible les écritures suivantes.

A- \(e^4 \times e^{-2}\)

B - \(e^4 + e^{-2}\)

C- \(\left( e^{-5} \right)^2\)

D- \(\left( e^2 \right)^{-5}\)

E- \(\frac{e^6}{e^2}\)

F- \(\frac{2e^3}{e^{-4}}\)

G- \(\frac{5e^4}{e^3\times e}\)

H- \(\frac{e^{\frac{2}{3}} \times e^{\frac{4}{3}}}{e}\)

I- \(\frac{1}{e^2} \times \frac{1}{e^3}\)

J- \(e^3 \times \sqrt e\)

K- \(\sqrt{e^5}\)

L- \(\frac{\left(e^3 - e^2\right)^2}{e^4}\)

 

Exercice 2

Démontrer les égalités suivantes pour tout \(x\) réel.

A- \(\frac{e^x - e^{-x}}{e^{-x}} = e^{2x} - 1\)

B- \(e^{2x} - 1 = \left(e^x - 1\right) \left(e^x + 1\right)\)

C- \(\sqrt {2} \left(-2e^x + e^{-x}\right)\) \(= \left(2e^x + \sqrt {2}\right) \left(e^{-x} - \sqrt {2}\right)\)

D- \(\frac{e^{(x+1)^2}}{e^{(x-1)^2}} = e^{4x}\)

E- \(\frac{e^x - 2}{e^x + 3} = 1 - \frac{5}{e^x+3}\)

 

Corrigé 1

A- Il suffit d'additionner les puissances. \(e^4 \times e^{-2} = e^{4 - 2} = e^2\)

B- On ne peut pas simplifier.

C - \(e^{(-5)\times 2} = e^{-10}\)

D- Même réponse puisque \(\left( e^{-5} \right)^2 = \left( e^2 \right)^{-5}\). Donc \(e^{-10}\)

E- \(\frac{e^6}{e^2} = e^6 \times e^{-2}\) \(= e^{6-2} = e^4\)

F- \(\frac{2e^3}{e^{-4}} = 2e^3 \times e^4 = 2e^7\)

G- Rappelons que \(e = e^1.\) Donc \(\frac{5e^4}{e^3\times e} = \frac{5e^4}{e^4} = 5\)

H- \(e^{\frac{2}{3}}\times e^{\frac{4}{3}} = e^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}\) \(= e^{\frac{6}{3}} = e^2\)

Donc la réponse est \(\frac{e^2}{e} = e\)

I- \(\frac{1}{e^2} \times \frac{1}{e^3}\) \(= e^{-2} \times e^{-3}\) \(= e^{-5}\)

J- Une racine carrée n'est autre qu'une puissance 0,5. Ainsi, \(e^3 \times \sqrt e\) \(= e^3 \times e^{0,5}\) \(= e^{3,5}\)

K- \(\sqrt{e^5}\) \(= e^{\frac{5}{2}}\)

L- Développons l'identité remarquable. \(\frac{\left(e^3 - e^2\right)^2}{e^4}\) \(= \frac{e^6 - 2e^3e^2 + e^4}{e^4}\) \(= \frac{e^6 - 2e^5 + e^4}{e^4}\).

En factorisant le numérateur par \(e^4\) puis en simplifiant, on obtient \(e^2 - 2e + 1.\)

Cette expression peut d'ailleurs être factorisée : \(\left( e - 1 \right)^2.\)

 

Corrigé 2

A- \(\frac{e^x - e^{-x}}{e^{-x}} =\) \(\frac{e^{-x} \left(e^{2x} - 1 \right)}{e^{-x}}\) \(= e^{2x} - 1\)

B- Vous devez remarquer l'identité. \(e^{2x} - 1\) \(={\left( {{e^x}} \right)^2} - 1^2\) \(= \left(e^x - 1\right) \left(e^x + 1\right)\)

C- On sait que pour montrer une égalité entre deux expressions, il est toujours plus pratique de partir d'une forme factorisée puis de la développer. Hélas, nous sommes en précence de deux formes factorisées ! Mais votre instinct ne vous a pas trompé. Il vaut mieux partir du deuxième membre, procéder à une double distributivité puis simplifier l'écriture.

\(\left(2e^x + \sqrt {2}\right) \left(e^{-x} - \sqrt {2}\right)\) \(= 2e^xe^{-x} - 2\sqrt{2}e^x + \sqrt{2}e^{-x} - 2\)

Rappelons que \(e^x \times e^{-x} = 1.\)

Donc \(\left(2e^x + \sqrt {2}\right) \left(e^{-x} - \sqrt {2}\right)\) \(= 2 - 2\sqrt{2}e^x + \sqrt{2}e^{-x} - 2\)

\(\Leftrightarrow \left(2e^x + \sqrt {2}\right) \left(e^{-x} - \sqrt {2}\right)\) \(= - 2\sqrt{2}e^x + \sqrt{2}e^{-x} \)

Il ne reste qu'à factoriser par \(\sqrt {2}\) pour vérifier notre égalité.

D- Vous êtes maintenant rompu à la technique. La plupart du temps, on commence par transformer la forme fractionnaire.

\(\frac{e^{(x+1)^2}}{e^{(x-1)^2}}\) \(= e^{(x+1)^2 - (x-1)^2}\)

Développons les identités remarquables.

\(e^{(x+1)^2 - (x-1)^2}\) \(= e^{x^2+2x+1-(x^2-2x+1)}\)

\(\Leftrightarrow e^{(x+1)^2 - (x-1)^2}\) \(= e^{x^2+2x+1-x^2+2x-1}\)

Il ne reste plus qu'à simplifier pour obtenir \(e^{4x}.\)

E- Commençons par écrire le second membre sur un même dénominateur.

\( 1 - \frac{5}{e^x + 3} = \frac{e^x + 3 - 5}{e^x + 3}\) \(= \frac{e^x - 2}{e^x + 3}\)

Eh oui, c'est déjà terminé !