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(et fondements mathématiques)

Les positions relatives de courbes

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Positions relatives de deux ou plusieurs courbes

En classe de première ES et de première S, on s’interroge régulièrement à propos d’une énigme que le programme de maths nous permet de résoudre : placé en présence de deux fonctions, il s’agit de deviner laquelle de leurs courbes représentatives est située au-dessus de l’autre.

Le principe est heureusement fort simple. C’est pourquoi cette page traite essentiellement de cette partie du programme sous forme d’exercices.

Rappel de cours

La fonction f est supérieure à la fonction g (on écrit f ≥ g) sur l’intervalle I lorsque pour tout réel x de I, f(x) ≥ g(x). La courbe Cf est dans ce cas au-dessus de Cg, du moins sur I.

Et comme vous l’avez deviné, lorsque f est inférieure à g c’est Cf qui est au-dessous de Cg.

Enfin, les courbes sont confondues lorsque f et g sont égales (voir la page intersections de courbes).

Exemple

Soit la fonction linéaire f(x) = x (droite bleue), la fonction carré g (courbe verte), la fonction racine carrée h (courbe rouge) et la fonction inverse i (en violet). Réalisation avec WxGéométrie.

3 courbes

Les courbes sont confondues pour x = 1. Sur l’intervalle ]0 ; 1[, g < f < h < i tandis que sur ]1 ; +∞[, i < h < f < g.

Savoir-faire

La plupart du temps, le principe consiste à étudier le signe d’une troisième fonction obtenue par différence. En première S, des exercices ont aussi pour objet la comparaison d’un nombre, de sa racine et de son carré. Il convient alors de se référer à l’exemple ci-dessus, c’est-à-dire que le classement différera selon que ces nombres sont compris entre 0 et 1 ou s’ils sont supérieurs à 1 (Cf. exercice 2 ci-dessous). Voir aussi la page exercices sur positions relatives de courbes.

Exercice 1

Soit f et g deux fonctions définies sur R par f(x) =  – 2x – 5 et g(x) = -x – 3. Étudier les positions respectives de leurs courbes représentatives.

Exercice 2

énoncé

Corrigé 1

Soit h(x) = f(x) – g(x) =  – 2x – 5 + x + 3 =  – x – 2

h est une fonction du second degré. Calculons son discriminant afin de déterminer son signe. Il suffit d’appliquer les formules bien connues avec a = 1, b = -1 et c = -2.

Δ = (-1)² – [4 × 1 × (-2)] = 9 = 3²

Δ étant strictement positif, le trinôme admet deux racines qui sont x1 = (1 – 3) / 2 = -1 et x2 = (1 + 3) / 2 = 2.

Le signe de la fonction est du signe de a, c’est-à-dire positif de part et d’autre des racines mais du signe contraire (donc négatif) entre ces racines.

Comme on a déterminé h en ôtant l’expression de g à celle de f, cela signifie que si h est positive, c’est que f > g et inversement si h est négative. Cela doit vous paraître parfaitement logique !

Par conséquent Cf est confondue avec Cg pour x = -1 et x = 2, elle est située au-dessous sur ]-1 ; 2[ et au-dessus partout ailleurs.

Cf et Cg

Corrigé 2

1.

corrigé 1

Il s’ensuit que…

racine de X

2. Développons l’identité remarquable.

X²

3. Il s’agit de comparer un nombre, son carré et sa racine carrée. Comme X > 1 l’ordre est le suivant :

ordre

 

positions de courbes

 

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