Quelques démonstrations sur les suites

Démonstrations sur les suites (1ère et terminale)

 

Cette page vous permettra de comprendre quelques démonstrations sur les suites qui figurent aux programmes de première générale et de terminale S, au cas où le côté formel de votre cours ou de votre manuel vous laisserait de marbre.

Les quatre premières sont au programme de première. Le principe est à peu près le même pour les quatre démonstrations mais celles-ci ne seront pas toutes détaillées de la même façon. Vous pourrez donc vous raccrocher à l’explication qui vous parle le mieux pour comprendre les autres au cas, bien improbable, où vous auriez des difficultés.

Les démonstrations de limites sont au programme de terminale S.

Ci-dessous, \(n \in \mathbb{N}\).

 

Terme général d’une suite arithmétique

Une suite est arithmétique lorsque chaque terme est égal auquel s'ajoute un même réel appelé la raison.

Soit une suite arithmétique \((u_n)\) de raison \(r\) non nulle.

Nous avons \(u_1 = u_0 +r\)

De même, \(u_2 = u_1 + r\)

Et ainsi de suite : \(u_{n-1} = u_{n-2} + r\) et \(u_n = u_{n-1} + r\)

Donc \(u_n = (u_{n-2} + r) + r = u_{n-2} + 2r\)

Continuez ainsi : en remplaçant chaque fois le terme \(u_{n-p}\) dans le terme de droite par le précédent plus \(r\) et ceci jusqu’au premier terme \((u_0),\) on arrive à \(u_n = u_0 + nr.\) Et voilà le terme général d’une suite arithmétique.

 

Terme général d’une suite géométrique

Une suite \((u_n)\) est géométrique lorsque chaque terme est égal au précédent multiplié par un même nombre \(q.\)

Le terme général est \(u_{n+1} = u_0 \times q^n.\)

Si \(u_0 = 0,\) c’est facile : tous les termes sont nuls.

Sinon, c’est le même raisonnement que pour la suite arithmétique. On commence par \(u_1 = u_0 \times q,\) puis \(u_2 = u_1 \times q,\) autrement dit \(u_2 = u_0 \times q \times q,\) donc \(u_2= u_0 \times q^2,\) etc. Donc \(u_n = u_0 \times q^n.\)

 

Calcul de la somme des \(n\) premiers entiers

La somme des \(n\) premiers entiers est égale à \(S = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

Comment le démontrer ? En montrant que \(2S = n(n + 1).\) Vous aurez remarqué que c’est la même chose !

Par définition, \(S = 1 + 2 + … +(n - 1) + n\)

On peut aussi l’écrire dans l’autre sens : \(S = n + (n-1) + … + 2 + 1\)

À présent, on considère que \(2S\) est égal à l’addition des termes dans l’ordre croissant plus l’addition des termes dans l’ordre décroissant.

coïncidences

Lorsqu’on additionne membre à membre, on constate que l’on obtient une somme de \(n\) termes, tous égaux à \(n + 1.\) Donc, \(2S = n \times (n+1).\)

D’où \(S = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

 

Calcul de \(1 + q + q^2 + … + q^n\)

C’est toujours le même principe. Comme vous ne pouvez plus vous en passer, c’est reparti.

Soit \(q \ne 1.\) Nous devrons montrer que \(S = 1 + q + … q^n\) \( = \frac{{1 - {q^{n + 1}}}}{{1 - q}}\)

Ceci revient à montrer que \((1 - q)(1 + q + … + q^n)\) \(= 1 - q^n\)

Développons le premier membre.

\((1-q) + q(1-q) + q^2(1-q ) +… +q^n(1-q)\)
\(= 1 - q + q - q^2 + q^2 - q^3 + … + q^n - q^{n+1}\)

Et là, on s’aperçoit que tous les termes s’annulent, à l’exception du premier et du dernier.

Il nous reste \(1-q^{n+1}.\) Nous avons montré que \((1-q)S = 1-q^{n+1}\) et donc \(S = \frac{{1 - {q^{n + 1}}}}{{1 - q}}\).

 

Limite par comparaison

Une limite par comparaison est la suivante : soit deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) et, à partir d’un certain rang, \(v_n \ge u_n.\) Si l’on sait que la limite de \((u_n)\) est \(+ \infty,\) on en déduit que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {v_n} = + \infty .\)

Soit un réel \(a\) quelconque.

À partir d’un certain rang \(p_1,\) qui dépend de la suite et de la valeur de \(a,\) tous les termes de \((u_n)\) appartiennent à l’intervalle \(]a\,;+\infty[.\)

À partir d’un rang que l’on peut nommer \(p_2,\) nous avons \(v_n \le u_n.\)

Soit \(p\) la valeur la plus élevée entre \(p_1\) et \(p_2\) (c’est-à-dire que tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(p\) est supérieur ou égal à \(p_1\) et à \(p_2\)).

Donc si \(u_n \in ]a\,;+\infty[\) et \(v_n \le u_n,\) alors \(v_n \in ]a\,;+\infty[.\)

À partir du rang \(p,\) l’intervalle \(]a\,;+\infty[\) contient tous les termes de \(v_n\) (c’est la définition d’une limite infinie).

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {v_n} = + \infty \)

 

Limite de la suite \(q^n\)

Soit un réel \(q > 1\) et un entier naturel \(n.\)

La limite de la suite \(q^n\) est \(+ \infty .\)

La démonstration utilise la précédente. Également au programme de terminale S, vous la trouverez en page de limites des suites de type \(q^n\).