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(et fondements mathématiques)

Les sommes de premiers entiers

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Exercices avec sommations et suites arithmétiques

Les démonstrations ne sont pas l’objet du site sur lequel vous avez le plaisir de vous trouver. Il est toutefois possible d’en rencontrer quelques unes au détour d’un exercice illustrant une technique… Justement, voici quelques exercices d’entraînement à la manipulation des suites et séries dont le niveau de difficulté est celui des classes de première et de terminale S.

Préambule

Soit n ∈ N. Rappel de la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique :

somme

Il s’ensuit que la somme des n premiers entiers naturels est :

premiers entiers naturels

Note : si vous souhaitez programmer la somme des n premiers entiers sur une calculatrice TI-83, voir la page boucles (niveau seconde).

Premiers entiers impairs

À quoi est égal la somme 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) ?

Le dernier rang (2n – 1) indique que l’on étudie les n premiers termes d’une suite arithmétique de raison 2. Le premier est u1 et non u0. Donc, la moyenne entre le premier et le dernier terme n’est pas multipliée par (n + 1) comme dans la formule mais par n.

somme des premiers impairs

Vérifions cette belle trouvaille sur les cinq premiers nombres impairs (1, 3, 5, 7 et 9). Leur somme est bien égale à 25 (soit 5²).

Premiers carrés (niveau terminale S)

Les résultats des séries des n premiers entiers élevés à une puissance s’établissent soit par un raisonnement par récurrence (mais qui est plutôt la démonstration d'arriver au résultat, déjà donné), soit par une sommation membre à membre.

Cette seconde technique nécessite le développement de (n + 1)n+1. Grâce au principe du binôme de Newton, la tâche n’est pas trop fastidieuse tant que l’on reste dans le cadre de « petites » puissances. Le développement d’un cube est un exemple du binôme. Ici :

binôme

L’astuce consiste à sommer les formes développées de 1 jusqu’à n.

développement du 1er terme
développement du 2ème terme
(…)
n-1ème terme
nième terme

La somme des termes de gauche nous donne 2³ + 3³ + … + (n + 1)³.

La somme des expressions de droite est plus longue : il faut additionner tous les premiers termes, puis tous les deuxièmes, tous les troisièmes et enfin tous les 1 : 1³ + 2³ + … + n³ + 3(1² + 2² + … + ) + 3(1 + 2 + … + n) + n.

Comme nous avons de chaque côté 2³ + … + n³, il ne demeure que l’égalité suivante : (n + 1)³ = 1 + 3(1² + 2² + … + ) + 3(1 + 2 + … + n) + n.

Nommons Sn la somme des cubes dont nous cherchons une expression synthétique et remplaçons la somme des n premiers entiers par la formule indiquée en préambule :

cube de n+1

En factorisant par (n + 1), il s’ensuit…

(n+1) en facteur

Après développement de l’identité remarquable et annulation de -1 + 1, il subsiste…

développement

Factorisons le dernier terme par n / 2 :

factorisation

Donc, finalement...

somme des carrés

Vérifions ceci avec un raisonnement par récurrence.

Initialisation : vérifions d'abord la formule sur u1.

carré de 1

OK, ça fonctionne. Pour vérifier l'hérédité, il faudra obtenir l’expression suivante :

carré de n+1

Hérédité : supposons que pour un entier n la proposition suivante est vraie.

hérédité

Transformons le second terme pour obtenir un unique dénominateur (6) puis factorisons par (n + 1).

factorisation

Une partie de cette expression est trop compliquée. Simplifions-la en la développant (2 + 7n + 6) puis en la factorisant grâce au discriminant. Le résultat ne se fait pas attendre : nous obtenons ce que nous cherchions. La propriété est bien vérifiée pour n + 1.

Encore plus fort

Libre à vous de vous entraîner pour retrouver la somme des premiers cubes…

somme des cubes

Et attention mesdames et messieurs, le clou du spectacle ! La somme des premiers entiers à la puissance 4…

somme des puissances 4

 

premières siestes

 

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