Fonctions négligeables
Bon, si ces fonctions sont si négligeables que ça, inutile d’en parler…
Euh… La négligeabilité est une notion mathématique utilisée dans le cadre des recherches de limites. Après tout, on pourrait peut-être en dire un mot ?
Définition et notation
Prenons deux fonctions, \(f\) et \(g\) (pour ne pas paraître original). \(f\) est négligeable (ou « infiniment petit ») devant \(g\) au voisinage de \(a\) s’il existe une fonction \(\varepsilon \) telle que :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = g(x)\varepsilon (x)}\\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \varepsilon (x) = 0}
\end{array}} \right.\)
Il est entendu que \(a\) peut être un nombre ou l’infini. Une façon parmi d’autres de noter que \(f\) est négligeable devant \(g\) :
\(f(x) = \omicron_a(g(x))\)
Le contraire de la négligeabilité est la domination, ou prépondérance. On note que g domine \(f\) de la façon suivante :
\(g(x) = {\rm O}_a (f(x))\)
Note : il ne s’agit pas d’un o, minuscule puis majuscule, mais de son sosie, la lettre grecque omicron.
La définition n’est pas très opérationnelle. Il est plus pratique d’utiliser une formule qui en découle :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = 0\)
Bien sûr, \(g(x)\) ne doit pas être nulle. Mais on remarque qu’il n’est pas indispensable d’introduire une fonction \(\varepsilon.\)
Une présentation plus intuitive (donc, non mathématique !) consiste à dire que \(g\) l’emporte sur \(f.\) Prenons un exemple où \(f\) et \(g\) ont la même limite finie.
La fonction carré est négligeable devant \(x\) au voisinage de zéro. Nos trois présentations sont là pour le montrer.
Premièrement, l’intuitive consiste à imaginer sa parabole représentative qui, à partir de -1, amorce une descente rapide vers 0 pour atterrir en douceur alors que la droite représentative de la fonction linéaire \(f(x) = x\) vient se fracasser brutalement contre l’origine. Lorsque \(x\) vaut 0,5, \(x^2\) est déjà à 0,25. Si l’on extrapole à l’infiniment petit (déjà moins facile à imaginer), la fonction linéaire domine la fonction carré.
Deuxièmement, l’utilisation de la formule implique un calcul de limite simplissime :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 0\)
Troisième présentation, celle de la définition. Elle nécessite de poser \(\varepsilon(x) = x.\) Or \(x^2 = x × x\) et que la limite en 0 de cette fonction \(\varepsilon\) est nulle.
Au voisinage de zéro, une fonction polynomiale de degré \(n\) est d’ailleurs toujours négligeable devant une fonction polynomiale de degré inférieur. Et inversement à l’infini.
Les deux fonctions \(f\) et \(g\) n’ont pas nécessairement la même limite. Si \(g(x) = 1\) (fonction constante), \(f\) reste négligeable devant elle.
Propriétés
Si, au voisinage d’un point, \(f\) est négligeable devant \(g,\) elle-même négligeable devant \(h,\) alors \(f\) est négligeable devant \(h.\) C’est la propriété de transitivité, assez évidente d'ailleurs.
Les règles de linéarité s’appliquent. Si deux fonctions sont négligeables au voisinage d’un point devant une autre, leur combinaison linéaire l’est aussi. Formellement, si \(a\) et \(b\) sont deux réels (scalaires), alors…
\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = {o_a}(h(x))}\\
{g(x) = {o_a}(h(x))}
\end{array}} \right\}af(x) + bg(x)\) \(=\) \({o_a}(h(x))\)
Quant aux inverses…
\(f(x) = {o_a}(g(x))\) \(\Rightarrow \frac{1}{g(x)} = {o_a}\left(\frac{1}{f(x)}\right)\)
En revanche, l’élévation de \(f\) et de \(g\) à une même puissance positive ne change pas le sens comme ci-dessus. Idem si l’on étudie des PRODUITS de fonctions (mais pas leur somme) :
\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = {o_a}(h(x))}\\
{g(x) = {o_a}(k(x))}
\end{array}} \right\}f(x) \times g(x)\) \(=\) \({o_a}(h(x) \times k(x))\)
Posologie
À utiliser lors de calculs de limites difficiles. Si les troubles persistent, consultez votre mathématicien.
D’une façon générale, on lève l’indétermination d’une limite en comparant une fonction dominante et une fonction négligeable, même sans le savoir. Ainsi, les croissances comparées ne sont rien d’autre que la confrontation entre une fonction plus « forte » et une autre plus « faible » : à l’infini, la fonction logarithme népérien est négligeable devant une fonction de puissance positive, elle-même négligeable devant une fonction exponentielle…
Le RESTE d’un développement limité en un voisinage donné est une fonction négligeable à cet endroit-ci (la partie régulière étant une fonction équivalente à la fonction dont on cherche la limite). Au cours des années supérieures (souvent bac + 1), les fonctions négligeables sont d'ailleurs généralement étudiées en même temps que les fonctions équivalentes et juste avant les développements limités. Le lien est évident puisqu'au voisinage d'un point, une fonction négligeable apparaît comme la différence entre deux fonctions équivalentes.
Bien sûr, la négligeabilité s’étudie aussi dans le champ des limites de suites.
