Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les accroissements finis

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Théorème de Rolle et inégalité des accroissements finis

Le théorème de Rolle

Toute cette histoire commence par une évidence. Vous avez deux valeurs, mettons a et b pour ne pas paraître trop original, avec b > a comme de bien entendu. Entre ces deux là, une fonction continue et dérivable f est définie. Eh bien si f(a) = f(b), il existe au moins une valeur c appartenant à l'intervalle ]a ; b[ pour laquelle f’(c) = 0.

Rappelons que le nombre f(c) est un maximum local de f s’il existe un intervalle ouvert contenant c tel que f(x) est inférieur ou égal à f(c), et un minimum local si c’est le contraire. La dérivée de la fonction s’annule en tout extremum, global ou local.

Pas de quoi fouetter un chat. Soit la courbe représentative de la fonction est horizontale entre a et b et la dérivée est forcément nulle, soit elle croît puis retombe (ou l’inverse) et il existe évidemment un extrémum avec tangente horizontale, soit elle zigzague et sa dérivée s’annule plusieurs fois sur le parcours.

Quiz : le théorème de Rolle s'applique-t-il à la fonction suivante sur l'intervalle [-2 ; 2] ?

exemple Rolle

Réponse : bien sûr que non ! La fonction n'est pas définie si x = 1...

Le théorème des accroissements finis

Si la fonction f est continue sur [a ; b] et dérivable sur ]a ; b[, alors il existe c appartenant à ]a ; b[ tel que f(b) – f(a) = (b – a)f’(c). C’est moins intuitif que le théorème de Rolle mais c’est pourtant grâce à ce dernier que le théorème des accroissements finis se démontre.

Nous ne sommes plus dans la situation où f(a) = f(b). On a fait « pivoter » la situation précédente et on démontre qu’un point intermédiaire c admet une tangente parallèle à la droite qui joint les points A et B. Les connaissances mathématiques qui permettent de comprendre ce mécanisme sont acquises en classe de première. Ce n'est donc pas très compliqué... Reformulons l'expression de f'(c) :

accroissements finis

Il apparaît bien que le coefficient directeur de la tangente en c, donné par f'(c), est le même que celui de la droite (AB).

pivotement

Une conséquence est d'approcher f(b) si la valeur f(a) est connue, sachant que l'erreur d'approximation est égale à (b – a)f'(c).

Exemple. Déterminons ln 1,1. Ici, f est la fonction logarithme népérien. f'(c) est donc égal à 1 / c, b est égal à 1,1 et si a = 1, on a bien une valeur connue f(a) = 0.

Donc, ln 1,1 = (1,1  1) × 1 / c + 0 = 0,1 / c.

On sait que c ∈ ]1 ; 1,1[, ce qui veut dire que l'erreur maximale est de 0,1 / 1, soit 0,1. L'erreur minimale est de 0,1 / 1,1, soit 0,091. Donc, ln 1,1 ∈ ]0,091 ; 0,1[.

Bien sûr, on peut prendre d'autres exemples avec la fonction ln mais plus on s'éloigne de 1, moins l'intervalle sera précis...

Les développements limités de Taylor permettent des approximations souvent meilleures.

L’inégalité des accroissements finis

Nous avons toujours notre fonction f continue et dérivable. On montre que si m ≤ f'(x) ≤ M, alors m(b – a) ≤ f(b) – f(a) ≤ M(b – a), m et M étant des réels.

Autrement dit, on peut encadrer une fonction en utilisant sa dérivée.

Ce théorème est surtout utile lorsqu’on a peu d’information sur la fonction. On peut alors la situer plus ou moins approximativement.

Je vous sens dubitatif. Alors étudions un exemple.

Supposons une fonction définie sur R+ f(0) = 1 (il s’agit de la fonction 1 / (1 + x) pour tout x positif ou nul, mais faites comme si je ne vous avais rien dit). A priori, on ne sait donc pas grand-chose.

Appliquons la formule de l’inégalité des accroissements finis sur un segment [0 ; x]. Nous avons m = -1 et M = 0. De plus, les bornes du segment sont a = 0 et b = x. Il n’y a plus qu’à remplacer les paramètres de la formule -1(x – 0) ≤ f(x) – f(0) ≤ 0(x – 0).

Donc, -x ≤ f(x) – 1 ≤ 0.

On ajoute 1 à tous les termes de l’inégalité et on en conclut que la courbe représentative de f est au-dessus de la droite d'équation y = -x + 1 et au-dessous de la droite d'équation = 1.

C’est donc avec très peu d’informations qu’on a réussi à remonter jusqu’à la fonction, non pour connaître son expression (Sherlock Holmes n’y serait pas parvenu non plus), mais pour la cerner autant que faire se peut. Illustration :

illustration des accroissements finis

On a cerné le tracé de la fonction, pour x supérieur ou égal à zéro, à la zone jaune vif. On constate qu’une courbe de fonction qui cadre avec les maigres connaissances qu’on en avait (en l’occurrence 1 / (1 + x)) se trouve bien dans cette zone (tracé noir).

Un lien sur le sujet :

http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc4/deriveth.html

 

accroissement

 

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