Généralités sur la loi de Poisson
Discrète mais bien connue, la loi de Poisson est une loi de probabilité qui s’applique aux évènements rares. Parmi ses domaines de prédilection, les contrôles de qualité (y compris révision comptable, puisqu'on suppose que les erreurs sont rares), les probabilités de défaut de crédit, les accidents...
Présentation
La distribution de Poisson est construite avec un seul paramètre, \(\lambda\) (lambda), qui est à la fois l'espérance et la variance de la loi (les démonstrations se trouvent en page de paramètre de la loi de Poisson). On peut présenter cette distribution comme étant une approximation d’une loi binomiale lorsque l’effectif \(n\) tend vers l’infini (en pratique, plusieurs dizaines) et la probabilité d'occurrence \(p\) tend vers zéro (en pratique, \(p < 0,1\). Le produit \(np\) tend alors vers \(λ.\) Le kurtosis de cette loi est égal à \(\frac{1}{λ}.\)
Le fait qu'une variable aléatoire \(X\) suive une loi de Poisson de paramètre \(λ\) s'écrit ainsi \(X \leadsto \mathscr{P}(\lambda).\)
\(X\) prend des valeurs positives entières \(k\) (par exemple des unités de temps 1, 2, 3…).
\(\displaystyle{P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda ^k}{k!}}\)
Comme l'illustrent les exemples ci-dessous, cette loi est asymétrique mais le devient de moins en moins au fur et à mesure que \(λ\) augmente (graphiques ci-dessous réalisés avec Gretl).
Pour \(λ = 0,8\) :
Pour \(λ = 2\) :
Pour \(λ = 8\) :
Voir aussi le théorème de la limite centrée.
Les valeurs sont généralement tabulées jusqu’à \(λ = 18\) (pour réaliser une table avec un tableur, voir les tables de Poisson). Au-delà, on se simplifie la vie en utilisant la loi normale.
\(\mathscr{P}(\lambda) \leadsto \mathscr{N}(\lambda\,; \sqrt{\lambda})\)
Précisons que la somme de plusieurs variables (v.a) de Poisson indépendantes est égale à une v.a de Poisson (et réciproquement, une v.a de Poisson peut être décomposée en plusieurs v.a indépendantes). Cette propriété est démontrée et illustrée en page d'additivité de la loi de Poisson.
Enfin, cette loi de probabilité est utilisée dans le cadre des processus de Poisson.
Exemple 1
\(2\%\) des dossiers de crédit arrivent au service contentieux un an après leur signature. Soit un lot de 100 dossiers. Quelle est la probabilité qu’aucun dossier ne devienne contentieux à un an (c’est-à-dire \(k,\) ou en l'occurrence \(x = 0\) ?
On a \(p = 0,02,\) \(n = 100\) et \(np = 2.\) Les conditions de convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson sont réunies. On avait d’ailleurs facilement deviné que \(λ\) était égal à 2…
Première façon de calculer, avec la formule :
\(P(X = 0)\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{e^{-2}2^0}{0!}}\) \(\approx\) \(0,1353\)
La probabilité obtenue est très proche de celle que la loi binomiale nous aurait donnée (0,1326).
Deuxième façon, avec la table dont voici un extrait :
Troisième façon, un peu plus rapide, avec Excel. On entre dans une cellule =LOI.POISSON(0;2;FAUX). Le premier argument est \(x,\) le deuxième est \(λ\) et le troisième signifie que l’on ne souhaite pas de cumul.
Exemple 2
Une société constate en moyenne trois accidents du travail par an. L’effectif total est relativement élevé, aussi considère-t-on que le nombre d’accidents suit une loi de Poisson. Quelle est la probabilité que plus de quatre accidents surviennent dans l’année ?
On sait que \(λ = 3.\) On peut s’amuser à additionner les nombres relevés sur la table ci-dessus à partir de \(x = 5.\) On trouve 0,1847.
Ce résultat est aussi obtenu en se fatiguant moins : si l’on utilise la fonction statistique d’Excel, on s’intéresse cette fois-ci à un cumul. LOI.POISSON(4;3;VRAI) donne 0,8153. Comme on cherche les valeurs au-delà de 4, notre probabilité est de \(1 - 0,8153\) \(=\) \(0,1847.\)
D'autres exemples figurent en pages de loi binomiale et d'absentéisme. Voir aussi la gestion des stocks avec loi de Poisson.
