Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Un exercice sur l'orthogonalité et les produits scalaires

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Démonstrations géométriques avec produits scalaires

Avec cet exercice de niveau première S vous pourrez vous entraîner à manipuler les produits scalaires afin de démontrer une orthogonalité et une égalité de distances. Bon courage !

Énoncé

Soit deux carrés ABCD et BEFG.

carrés

1- Démontrer l’égalité suivante :

-CB.BG=EB.BA

2- Montrer que les droites (EC) et (AG) sont perpendiculaires.

3- Montrer que CE = AG.

Corrigé détaillé

1- Intéressons-nous de plus près aux angles formés par B.

Nous savons que deux d'entre eux sont droits. Or, la somme des quatre angles formés par B vaut évidemment 360° ou 2π radians. Comme un angle droit mesure 90° (ou 0,5 π radian), nous avons :

EBA+CBG=pi

Or, cos(α) + cos(-α) = π. Il s’ensuit que :

cos EBA = cos CBG

Utilisons la formule du cosinus :

-CB.BG = -CB x BG x cos CBG

De même :

EB.BA = EB x BA x cos ABE

Comme EB = BG et BA = BC nous obtenons bien :

égalité vérifiée

2- Montrons que des vecteurs directeurs des droites (EC) et (AG) sont orthogonaux. Pour cela, nous utiliserons la propriété du produit scalaire nul. Nous devons donc vérifier que :

AG.EC = 0

Mais les produits scalaires que nous connaissons sont définis avec le point B ! Qu’à cela ne tienne, faisons apparaître B avec la relation de Chasles

AG.EC = (AB+BG).(EB+BC)

Distribuons.

distribution

Nous savons que le deuxième terme ainsi que le troisième sont nuls puisque les vecteurs qui les composent sont construits à partir de côtés perpendiculaires de carrés.

AG.EC = AB.EB + BG.BC

À la question 1 nous avons montré que :

BC.BG = -EB.AB

Par conséquent, le produit scalaire est nul et nous avons démontré l’orthogonalité.

perpendic

Les droites (EC) et (AG) sont perpendiculaires.

3- Reste à démontrer que les distances EC et AG sont égales. Pour cela, utilisons le théorème d’Al Kashi, version produit scalaire :

EC² = BC²+BE²-2BC.BE

AG² = AB²+BG²-2BA.BG

On sait que BCAB et BGBE. Donc :

EC²-AG² = -2BC.BE+2BA.BG

2 en facteur

Il faut donc démontrer que :

BA.BG = BC.BE

Reproduisons le même raisonnement que plus haut.

BA.BG = BA x BG x cosABG

BC.BE = BC x BE x cosCBE

Or BABC et BG = BE. Qu’en est-il des cosinus ?

ABG = ABE + EBG

CBE = CBA + EBG

Or…

cos EBG = cos CBA

L’égalité des cosinus implique l’égalité des produits scalaires, donc des distances au carré, donc des distances. EC et AG sont bien égales.

Ces propriétés sont illustrées ci-dessous où les carrés sont positionnés différemment que sur la première figure…

2 carrés

 

 

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