Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les formules de la médiane

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercices de démonstration avec carrés scalaires

Cette page se présente sous forme d’exercices visant à montrer quelques bienfaits du carré scalaire, c’est-à-dire du produit scalaire entre un vecteur et lui-même, ainsi que d'intéressantes propriétés du produit scalaire.

carré scalaire

Il s’agit de démontrer les trois volets du « théorème de la médiane ».

Dans les exercices qui suivent nous considérons un point O qui est le milieu du segment [AB] et un point M quelconque du plan (donc, A, B et M forment un triangle).

Exercice 1

Montrer que :

exercice 1

Exercice 2

Montrer que :

exercice 2

Exercice 3

Montrer que :

formule de la médiane

Corrigé 1

L’exercice est assez facile. Il faut d’abord se souvenir de l’identité remarquable a² – b² = (a + b)(a – b).

identité remarquable

Il faut ensuite se remémorer la règle d’associativité du barycentre pour transformer le premier facteur.

associativité du barycentre

Quant au second facteur, il se simplifie grâce à la relation de Chasles.

relation de Chasles

On obtient bien le produit scalaire qu’il fallait trouver.

Corrigé 2

Cet exercice ressemble au précédent (relation de Chasles et identité remarquable).

démonstration

On trouve parfois une autre forme. En effet, nous avons :

alternative

Comme le point O se situe au milieu de [AB], le terme du milieu est égal au vecteur nul et le dernier terme est égal à -½ AB . ½ AB = -¼ AB². Donc :

forme 2

Corrigé 3

La somme MA² + MB² est égale à la somme des deux vecteurs au carré. Ces derniers peuvent être exprimés en introduisant le point O grâce à la relation de Chasles. Donc :

identité remarquable

Développons les deux identités remarquables.

développement

Simplification.

simplification

Jusqu’ici, O pouvait se situer n’importe où, les calculs n’utilisant pas le fait que ce point est le milieu de [AB]. Cette propriété nous permet à présent d’éliminer le deuxième terme puisque la somme des vecteurs OA et OB aboutit au vecteur nul.  Il n’en est pas de même de leurs carrés…

élimination

Mais OA² = OB².

De plus, nous savons que le vecteur OB représente la moitié de AB. Donc son carré est égal à ¼ AB² (le même tour de passe-passe a déjà été expliqué dans l’exercice 2). Comme il apparaît deux fois dans notre formule, nous avons bien OA² OB² = ½ AB². L’addition des deux carrés scalaires est démontrée.

Note : cette formule de la médiane peut aussi être démontrée sans utiliser les propriétés des produits scalaires mais seulement avec les DISTANCES.

Illustrons avec un exemple chiffré. Soit un triangle ABC. Les mesures des côtés sont les suivantes : AB = 4, AC = 2 et BC = 3. Quelle est la longueur de la médiane issue de C (c’est-à-dire la longueur du segment [OC], O étant le milieu de [AB]) ?

Médiane

En se calant exactement sur la formule démontrée à l'exercice 3 (avec C qui remplace M), il apparaît que 2² + 3², c’est-à-dire 13, doit être égal à 2CO² + 0,5(4)², donc 2CO² + 8.

D’où 5 = 2CO² et donc CO est égal à la racine carrée de 2,5.

 

pépé et bébé

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés