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(et fondements mathématiques)

Vecteurs et coordonnées

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Vecteurs dans un plan muni d'un repère

Vous êtes en classe de seconde et vous commencez à étudier le chapitre sur les vecteurs. Vous constatez avec soulagement que ce n’est pas le chapitre le plus difficile de l’année. Alors vous souhaitez profiter de l’occasion pour remonter une moyenne de maths qui ne demande qu’à s’élever. Excellente idée ! Pour vous aider dans cette tâche, vous avez compris que passer quelques minutes sur ce site web était une solution particulièrement profitable. Alors vous avez dévoré la page vecteurs et translations et vous êtes impatient d’en connaître la suite. Eh bien justement la voici. Nos amis les vecteurs s’égayent à présent dans un plan muni d’un repère.

Ainsi, vous pouvez désormais les définir grâce à des points qui ont des COORDONNÉES. Fini le temps où il fallait compter des carreaux (sauf pour vérifier les calculs)…

Si l’on connaît les coordonnées d’un point A et celles d’un point image B par la translation d’un vecteur, il suffit pour connaître ce dernier de soustraire les coordonnées de A à celles de B :

vecteur AB

Si par exemple on a A (2 ; -1) et B (3 ; 4), alors…

exemple

Comptons quand même une dernière fois les carreaux pour nous rassurer.

carreaux

Pour aller de A à B, on avance horizontalement de 1 et verticalement de 5. Évidemment, si le point A était confondu avec l’origine O, les coordonnées de B seraient identiques aux coordonnées du vecteur.

Bien. Le cours se poursuivra avec la colinéarité, qui fait l’objet d’une autre page. Passons à un exercice d’application.

Exercice

1- On considère quatre points A, B, C et D dans un plan muni d’un repère orthonormé (O,i,j). A(-2 ; -1), B(0 ; 1), C(2 ; 0) et D(4 ; 2). Montrer que ABDC forme un parallélogramme en utilisant des vecteurs.

2- Montrer à nouveau que ABDC est un parallélogramme mais cette fois-ci avec la règle du milieu.

Corrigé

1- ABDC est un parallélogramme si et seulement si…

parallélogramme

Note : attention à l’ordre des points : si à l'avenir vous travaillez sur un parallélogramme ABCD, il faudra que le vecteur AB soit égal DC.

question 1

ABDC est bien un parallélogramme. Notez que l’on aurait aussi bien pu utiliser les vecteurs BD et AC (ce que vous vous empressez de vérifier à titre d’exercice, bien entendu).

2- ABDC est un parallélogramme si et seulement si le milieu M de [AD] est aussi le milieu de [BC]. Nous avons le choix entre deux techniques pour trouver les coordonnées du milieu [AD]. La première utilise les vecteurs. Pour cela on pose…

question 2

Donc, M(1 ; ½). Vous trouverez le même résultat en calculant le milieu de [BC]. Cette technique n’est pas la plus rapide. Elle est détaillée quand même car je vous parie un kilo de parallélogrammes que vous aurez à résoudre des exercices où ce sont les coordonnées d’un point qui seront les inconnues. Il vous suffira alors de résoudre deux petites équations, comme ici.

L’autre technique consiste à utiliser la formule du milieu (voir page géométrie analytique). Ainsi, les coordonnées du milieu de [AD] sont…

milieu

On obtient plus rapidement les coordonnées de M. Il faut ensuite répéter la même opération en calculant le milieu de [BC] (ou de [CB] car nous n’utilisons pas les vecteurs et l’ordre des deux points n’a donc aucune importance). Évidemment, si vous étudiez les vecteurs avant la géométrie analytique, vous n'avez pas le choix de la technique !

Pour information, voici la figure (réalisation Géoplan) :

parallélogramme

 

tourner à droite

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés