Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Produit scalaire et mesures d'angles

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Théorème d'Al Kashi et calculs d'angles

En classe de premières S, on mesure certains angles en radians vers le début ou le milieu de l’année scolaire. Plus tard on aborde le produit scalaire. Avec cet outil extraordinanire, il est désormais possible de revenir aux angles mais cette fois pour des mesures plus… périlleuses.

Rappelons la formule du cosinus et la formule des normes :

produit scalaire

Théorème d’Al Kashi

L’égalité entre ces deux formules permet de déterminer le cosinus des angles d’un triangle ABC pour lequel on ne connaît que les longueurs des côtés. Je vous laisse le soin de la démonstration (très facile).

al-Kashi

C’est le théorème d’Al Kashi, du nom d’un mathématicien perse né vers 1380 à l’orthographe mal établie. On l’appelle aussi théorème de Pythagore généralisé, la propriété bien connue du triangle rectangle n’étant évidemment qu’un cas particulier.

Exemple :

Soit un triangle ABC tel que AB = 3, AC = 5 et CB = 7. Mesurons les angles au centième de degré.

7² = 3² + 5² – 2 × 3 × 5 × cos Â

Il s’ensuit que :

cos A

Calculons de la même façon…

cos B et cos C

Pour répondre à l’énoncé, il faut que la calculatrice soit en mode degré, puis utiliser la touche Arccos (ou cos-1).  On trouve ainsi que les angles mesurent 120° en A, 38,21° en B et 21,79° en C. Prudemment, nous vérifions que leur somme est bien égale à 180°.

Remarquez que si les propriétés du produit scalaire interviennent pour la démonstration, il n’est pas nécessaire de les connaître pour calculer des angles.

Dans un plan orthonormé

Nous savons que u.v = xx’ + yy’ (voir page produit scalaire dans un plan repéré).

Si l’on combine ceci avec la formule du cosinus et si l’on se souvient de celle du calcul de distance (programme de seconde), on obtient la formule suivante :

cos (u,v)

Cette formule est donc utilisable lorsqu’on connaît les coordonnées de points dans le plan ou que l’on peut ramener une figure géométrique à un plan (Cf. exercice ci-dessous).

Exemple :

Dans un plan muni d'un repère orthonormé se trouvent les points A(1 ; 1), B(3 ; 1) et C(3 ; -1). Quel angle forment les vecteurs AB et AC (en degrés et radians) ?

Commençons par déterminer les coordonnées des vecteurs :

coordonnées

Ainsi…

cos

Avec la calculatrice, on trouve cos-1(1 / (√2)) = 45°. En radians, c’est bien sûr π / 4.

Là encore, l’exemple est simple. Mais les exercices exigent souvent de recourir à une égalité de deux formules de produit scalaire, comme ci-dessous.

Exercice

Soit un rectangle ABCD tel que [AB] = 2 et [AD] = 4. I est le milieu de [CD]. Les droites (BD) et (AI) se croisent en un point P. Déterminer l’angle formé par [PI] et [PD].

Corrigé

Plan d’attaque : nous pouvons considérer que le cadre de l’exercice est celui de la géométrie analytique, ce qui permet d’attribuer des coordonnées aux points et donc d’utiliser la formule u.v = xx’ + yy’. En outre, comme nous cherchons un angle, nous aurons recours à la formule du cosinus.

rectangle

Nous avons les deux vecteurs suivants :

AI et BD

Le produit scalaire est égal à (4 × 4) + (1 × -2) = 14

Pour utiliser la formule du cosinus, nous devons calculer les distances.

distance AI

distance BD

Nous pouvons à présent employer la formule du cosinus.

formule du cosinus

Donc :

cos P

Avec la calculatrice, on trouve un angle de 40,6°.

Résumé de l’exercice :

produit scalaire

Voir aussi l'exercice sur le produit scalaire en géométrie.

 

produit scalaire

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés