Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La projection orthogonale d'un vecteur

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Orthogonalité et produit scalaire

Cette page s’adresse notamment aux élèves de première S. Elle explique le mécanisme de la projection orthogonale pour déterminer un produit scalaire dans le plan et montre comment utiliser cette technique. Bien entendu, si vous n’êtes pas en première S et si vous mourrez d’envie de comprendre cette belle mécanique, je vous souhaite à vous aussi une bonne lecture…

Orthogonalité

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Graphiquement, leurs directions sont orthogonales. Ainsi, deux droites sont orthogonales si et seulement si le produit de leurs vecteurs directeurs est nul.

Projection orthogonale

Soit un vecteur CD. Projetons-le orthogonalement sur la droite (AB), support du vecteur AB. Le projeté est le vecteur C’D’ tel que les vecteurs CC’ et DD’ forment des angles droits avec (AB).

projection

Quant aux vecteurs CC’ et DD’, ils sont tous deux orthogonaux au vecteur AB puisque leurs directions sont perpendiculaires à celle de (AB).

La formule du projeté

Quel rapport avec le produit scalaire ?

On démontre aisément que :

projeté

Il est dès lors facile de calculer le produit scalaire de deux vecteurs qui sont colinéaires.

Il existe d’autres façons de calculer un produit scalaire, par exemple avec la formule du cosinus ou avec la formule des normes. Face à un énoncé, on choisit celle du projeté lorsqu’on est déjà en présence d’un angle droit y compris, comme ci-dessous, lorsqu’une figure montre un vecteur qui suit une ligne horizontale ou verticale.

Exemple 1

Que vaut le produit scalaire de ces deux vecteurs ? (un carreau vaut 1)

énoncé

Réponse :

corrigé

u.v

Exemple 2 (vecteurs en sens contraire)

exemple 2

résultat

Exercice1

Soit la figure suivante, où les carreaux sont des carrés de côté 1 (par exemple, AB = 6) :

figure

Calculer les produits scalaires suivants :

à calculer

Exercice 2

Reprendre l’exercice 1 mais avec AB = a et BD = b.

Corrigé 1

Les réponses sont respectivement 3 × 3 = 9, -2 × 2 = -4, -2 × 4 = -8 et 0 (vecteurs orthogonaux).

Corrigé 2

Respectivement :

corrigé 2

 

 

projection

 

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