Projection orthogonale à une droite
Le projeté orthogonal est une notion simple à comprendre qui figure au programme de seconde. Donc, vous retiendrez ci-dessous un peu de théorie avant d’être projeté dans un exercice.
Définition
Soit une droite \((D)\) et un point \(M\) n’appartenant pas à \((D).\) Le projeté orthogonal de \(M\) sur \((D)\) est le point \(M’\) de \((D)\) tel que les droites \((MM’)\) et \((D)\) sont perpendiculaires.
Si \(M\) appartient à \((D),\) il est confondu avec son projeté.
\(MM’\) est la distance de \(M\) à \((D).\)
Théorème
Le projeté orthogonal \(M’\) du point \(M\) sur \((D)\) est le point de \((D)\) le plus proche de \(M.\)
Dit autrement, quel que soit un point \(A\) de \((D)\) différent de \(M’,\) on a \(MM’ < AM.\) En effet, les points \(A,\) \(M\) et \(M’\) sont les sommets d’un triangle rectangle et \(AM\) est l’hypoténuse puisque \(MM’\) et \(M'A\) forment un angle droit.
Tracé
En principe, le positionnement d’un projeté orthogonal est réalisable avec les acquis du collège. Soit un point \(A\) et \(A’\) son projeté sur la droite \((D).\) On place la pointe d’un compas sur \(A\) et on trace un arc de cercle qui coupe \((D)\) deux fois. On place ensuite la pointe du compas sur chacune de ces deux intersections et, en maintenant le même écartement (de votre choix), vous déterminez un point distinct de \((D)\) (plus pratique s’il n’est pas du même côté de la droite que \(A\)). Soit \(B\) ce point. En reliant \(A\) et \(B\) vous obtenez une droite perpendiculaire à \((D).\) \(A’\) est à l’intersection de \((AB)\) et de \((D).\)
Illustration avec Geobra :
Exemple
Ci-dessous, \(G\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((DE),\) \(D\) est celui de \(C\) sur \((AB)\) et \(E\) est celui de \(G\) et de \(D\) sur \((BC).\)
Exercice (très classique !)
Soit un triangle \(ABC\) rectangle en \(B.\) \(AB = 6 \,m\) et \(BC = 8 \,m.\) \(H\) est le projeté orthogonal de \(B\) sur \((AC).\)
1 - Calculer l’aire du triangle \(ABC.\)
2 - Calculer la longueur \(AC.\)
3 - Calculer la longueur \(BH\) en utilisant les deux résultats précédents.
Corrigé
1 – Le triangle est rectangle en \(A.\) Donc l’hypoténuse est \(AC.\) L’aire de \(ABC\) est donc égale à \(\frac{AB + BC}{2},\) c’est-à-dire \(24 \,m^2.\)
2 – D’après le théorème de Pythagore, \(AB^2 + BC^2 = AC^2.\)
Donc \(6^2 + 8^2 = AC^2.\)
\( \Leftrightarrow 36 + 64 = AC^2\)
\( \Leftrightarrow AC^2 = 100\)
\(AC\) représente une distance, donc une valeur positive. \(AC = \sqrt{100} = 10.\)
3 – \(BH\) est la hauteur du triangle \(ABC\) issue de \(B.\)
Formule de l’aire d’un triangle :
\[\frac{{{\rm{base}} \times {\rm{hauteur}}}}{2}\]
Donc \(24 = \frac{10 \times BH}{2}\)
\( \Leftrightarrow BH = \frac{24}{5}\)
\( \Leftrightarrow BH = 4,8\)
La longueur de \(BH\) est de \(4,8 \,m.\)
Approfondissements
Voir aussi la tangente à un cercle.
