Quelques exercices sur produits scalaires

Exercices simples sur le produit scalaire

Vous venez de découvrir le produit scalaire (en classe de première générale, probablement). Cette opération, que nous devons au mathématicien et linguiste allemand Hermann Grassmann, constitue peut-être la partie la plus abstraite du programme, en tout cas la seule dont les résultats ne peuvent être vérifiés ou estimés rapidement.

Toutefois, avant de vous attaquer à de périlleux exercices de géométrie, vous souhaitez vérifier si vous maîtrisez la pratique. Eh bien vous êtes au bon endroit.

 

Méthodes

Si les cordonnées des vecteurs sont connues, le produit scalaire est une opération si simple qu’il pourrait être effectué dès l’école élémentaire. Il suffit de savoir multiplier et additionner. Vous avez des exemples en page de produit scalaire en géométrie analytique.

Si vous êtes en présence d’un problème géométrique, vous emploierez peut-être la projection orthogonale. Ce site vous propose plusieurs exercices sans qu’il soit nécessaire d’en ajouter ici (exercice sur l’orthogonalité et exercices sur l’orthogonalité dans le plan).

Sinon, on utilise généralement la formule du cosinus :

\[\overrightarrow u .\overrightarrow v = \| \overrightarrow u \| \times \| {\overrightarrow v } \| \times \cos ( \overrightarrow u ,\overrightarrow v )\]

Et si vous ne connaissez que des longueurs, donc des normes, alors la formule des normes s’impose.

\[ \overrightarrow u .\overrightarrow v = \frac{1}{2}\left( {{{\| {\overrightarrow u } \|}^2} + {{\\| {\overrightarrow v } \|}^2} - {{\| {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \|}^2}} \right)\]

Dans les exercices ci-dessous, le plan est toujours muni d’un repère orthonormé \((O\, ; \overrightarrow i, \overrightarrow j).\)

 

Exercices (formules)

1 - Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow u. \overrightarrow v.\) sachant que \(\| {\overrightarrow u } \| = 4,\) \(\overrightarrow v \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\1\end{array}} \right)\) et l'angle formé par ces vecteurs, mesuré dans le sens trigonométrique, est égal à \(\frac{π}{4}.\)

2 - Soit un parallélogramme \(ABCD.\) Déterminer \(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow{AC}\) sachant que \(AB = 6,\) \(BC = 3\) et \(AC = 9.\)

 

Corrigés

1 - On utilise la formule du cosinus.

Il faut au préalable calculer la norme de \(\overrightarrow v.\)

\(\| \overrightarrow v \| = \sqrt {1^2 + 1^2}  = \sqrt{2} \)

Par ailleurs, on sait que \(\cos(\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) (voir la page sur la trigonométrie).

Donc \(\overrightarrow u. \overrightarrow v. = 4 × \sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\)

2- Nous ne connaissons que des distances. La formule des normes s’impose.

La formule comporte une différence de vecteurs. Déterminons-la grâce à la relation de Chasles.

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow{AC}\)
\(\ ⇔ \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow{CB}\)
\(\ ⇔ \|\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC}\|^2  = \|\overrightarrow{CB}\|^2\)

Donc, d’après la formule…

\(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow{AC}\) \(= \frac{1}{2} \left(\|\overrightarrow {AB}\| + \ |\overrightarrow {AC}\| - \|\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC}\|\right)\)
\(\ ⇔ \overrightarrow {AB}.\overrightarrow{AC}\) \(= \frac{1}{2}(6^2 + 9^2 - 3^2) = 54\)

 

Exercices (propriétés)

1 - \(\overrightarrow u\) et \(\overrightarrow v\) ont pour normes respectives 3 et 2 et pour produit scalaire -5.

A - Déterminer \((\overrightarrow u + 0,5\overrightarrow v). (2 \overrightarrow u - 4\overrightarrow v)\)

B - Déterminer le plus simplement possible \((\overrightarrow u + \overrightarrow v).(\overrightarrow u - \overrightarrow v)\)

2 - Démontrer le théorème d'Al Kashi.

Rappel du théorème, également appelé théorème de Pythagore généralisé :

Soit un triangle \(ABC.\)

\(BC^2\) \(= AB^2 + AC^2 - 2AB \times AC \times \cos( \widehat A)\)

 

Corrigés

1 - Cet exercice ne présente aucune difficulté.

A - \((\overrightarrow u + 0,5\overrightarrow v). (2 \overrightarrow u - 4\overrightarrow v)\) \(=\) \(2 u^2 - 4\overrightarrow u . \overrightarrow v\) \(+\) \(0,5 × 2(\overrightarrow v. \overrightarrow u)\) \(+\) \(0,5 × (-4) \times v^2\)

Donc \(2 × 3^2 - 4(-5) + (-5) - 2 \times 2^2 = 25\)

B - \((\overrightarrow u + \overrightarrow v).(\overrightarrow u - \overrightarrow v)\) \(= u^2 - v^2\)

En l'occurrence, \(u^2 - v^2 = 9 - 4 = 5.\)

2 - La démonstration requiert une identité remarquable appliquée au produit scalaire.

Partons de la relation de Chasles, \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC}.\) On peut l'écrire \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}.\)

L'égalité reste vérifiée si l'on élève les deux membres au carré. \(BC^2 = (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB})^2.\)

C'est là qu'invervient l'identité. \(BC^2 = AC^2 - 2\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB} + AB^2.\)

Rappelons la formule du cosinus. \(\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB}\) \(= AB \times AC \times \cos(\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB}).\)

Il ne reste plus qu'à remplacer le double produit par la formule du cosinus.

\(BC^2\) \(= AB^2 + AC^2 - 2(AB \times AC \times \cos(\widehat {A}) )\) et l'égalité est démontrée.

Bien sûr, la démonstration s'applique aussi à \(AB^2\) et à \(AC^2.\)