Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le vecteur normal à une droite

Vecteur normal dans le plan

Les prérequis pour tirer parti de cette page sont la connaissance de l’équation cartésienne d’une droite et la notion d’orthogonalité, démontrable par un produit scalaire nul.

Le niveau est facile. C’est une petite recette toute simple, qu’un élève de première générale doit pouvoir appliquer sans difficulté.

 

Vecteur normal

Un vecteur est normal à une droite s’il est orthogonal à un vecteur directeur de celle-ci. Ce terme peut sembler bizarre car les autres vecteurs ne sont pas forcément aberrants, mais norma signifie équerre en latin. Dans un repère orthonormé, les coordonnées d’un vecteur normal à la droite \((D)\) d’équation cartésienne \(\alpha x + \beta y + \delta\) \(= 0\) sont \((\alpha\,;\beta).\)

Soit par exemple la droite \((D)\) d’équation \(2x + 3y - 2\) \(= 0\). Un vecteur normal à \((D)\) est \(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}} \right)\)

Visualisation à l’aide de GeoGebra.

vecteur normal

A contrario, deux droites ne sont perpendiculaires que si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.

Illustrons cette propriété en déterminant la hauteur d’un triangle (dans un plan muni d'un repère orthonormé) dont on connaît les sommets.

 

Hauteur

Rappelons que la hauteur d’un triangle \(ABC\) issue de \(A\) est la droite passant par \(A\) et qui coupe la droite \((BC)\) perpendiculairement. Elle n’appartient pas toujours au segment \([BC]\) (comme on peut le voir sur la page traitant de la droite d’Euler).

Soit un triangle dont les sommets sont \(A(1\, ;2),\) \(B(5\, ;-2)\) et \(C(10\, ;4).\) Déterminons les coordonnées de \(H,\) hauteur issue de \(A.\)

Soit \(H(x\, ;y).\) On sait que les vecteurs \(\overrightarrow {AH} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - 1}\\
{y - 2}
\end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {BC} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10 - 5}\\
{ 4 + 2}
\end{array}} \right)\) \( = \overrightarrow {BC} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5\\
{ 6}
\end{array}} \right)\) sont orthogonaux.

Et c’est à ce moment précis que nous dégainons le produit scalaire. Rappelons que si deux vecteurs sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est nul.

\(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\)
\(⇔ 5(x - 1) + 6(y - 2) = 0\)
\(⇔ 5x - 5 + 6y - 12 = 0\)
\(⇔ 5x + 6y - 17 = 0\)

Une affaire rondement menée.

hauteur

 

Exercice

Soit le plan muni d’un repère orthonormé. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par le point \(A(-1\, ;-3)\) et de vecteur normal \(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 7\end{array}} \right)\)

 

Corrigé

Le vecteur \(\overrightarrow {u}\) doit être orthogonal à un vecteur de coordonnées \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 1}\\
{y + 3}
\end{array}} \right)\)

\(1(x + 1) + 7(y + 3) = 0\)
\(⇔ x + 1 + 7y + 21 = 0\)
\(⇔ x + 7y + 22 = 0\)

Vérification :

vecteur normal

 

Voir aussi les exercices sur l'orthogonalité dans le plan.