La géométrie vectorielle dans l'espace

Plan dans l'espace et coplanarité

Ce que vous avez appris sur les vecteurs dans le plan en classe de seconde, vous allez à présent le transposer dans l’espace. L'occasion de réinvestir de ce vous savez déjà. Par exemple, la relation de Chasles s’applique, la définition de colinéarité de deux vecteurs reste valide, etc.

Notre voyage dans l’espace comportera deux escales : la caractérisation d’un plan et les vecteurs coplanaires. Cet espace ne comportant aucun repère, vous êtes priés de ne pas décrocher (le repérage dans l’espace fait l’objet d’une autre page).

 

Un plan dans l’espace

On peut définir un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires.

Soit un point \(O\) de l’espace et deux vecteurs \(\overrightarrow i \) et \(\overrightarrow j \). On détermine les points \(I\) et \(J\) tels que \(OI = \overrightarrow i \) et \(OJ = \overrightarrow j \) ce qui permet de définir un plan \((OIJ)\). N’importe quel point de ce plan, dirigé par le couple \((\overrightarrow i \,;\overrightarrow j )\), peut être exprimé en fonction de \(\overrightarrow i \) et \(\overrightarrow j \).

Une représentation graphique de cette propriété ne serait pas très parlante sur votre écran mais si vous avez du mal à vous représenter des vecteurs dans l’espace, une photo peut vous aider.

colombe

L’œil de la colombe est le point \(O\). Le bec est un vecteur \(\overrightarrow i \), parallèle à votre écran. La queue est un vecteur \(\overrightarrow j \) qui semble venir vers vous.

vecteurs

Le point \(O\) et les vecteurs \(\overrightarrow i \) et \(\overrightarrow j \) définissent un plan \(\mathscr{P}\).

plan

Exemple. Soit le point \(A(3\,;2)\). Nous avons \(\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow i + 2\overrightarrow j \)

point A

Ci-dessus, seul un quart du plan a été représenté. On peut imaginer qu’au-dessus de ce plan incliné passant par l’œil de la colombe émergeraient quelques feuilles…

plan total

Bon, assez joué avec Photoshop, passons aux vecteurs coplanaires.

 

Vecteurs coplanaires

Intuitivement, on devine que des vecteurs sont dit coplanaires si, et seulement si, ils sont dans le même plan. Formulons-le autrement.

Soit trois vecteurs de l’espace \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) et \(\overrightarrow w \). Ils sont coplanaires s’il existe trois réels \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) tels que \(\alpha \overrightarrow u + \beta \overrightarrow v + \gamma \overrightarrow w = \overrightarrow 0 \).

Ces réels ne doivent pas tous être égaux à zéro.

Deux vecteurs sont toujours coplanaires (c’est assez évident). Ainsi, si parmi nos trois vecteurs deux sont colinéaires, alors les trois sont coplanaires.

Remarquez que si l’égalité se vérifie avec trois réels, elle se vérifie donc avec une infinité de réels (à l’instar d’une équation cartésienne de droite). En revanche, on peut déterminer si des vecteurs sont coplanaires en vérifiant cette combinaison linéaire unique \(\overrightarrow w = \alpha \overrightarrow u + \beta \overrightarrow v \).

Et les points ? Trois points de l’espace sont forcément coplanaires. Mais pour vérifier que quatre points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) le sont, il faut montrer que les vecteurs \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AC} \) et \(\overrightarrow {AD} \) le sont.

 

Coordonnées

Si trois vecteurs \(\overrightarrow i \), \(\overrightarrow j \) et \(\overrightarrow k \) ne sont pas coplanaires, ils définissent un espace dans lequel un vecteur \(\overrightarrow u \) a des coordonnées uniques (voir la page repérage dans l'espace).

\[\overrightarrow u = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \]

 

Un exemple célèbre

Au dix-neuvième siècle, le physicien écossais James Clerk Maxwell considéra trois vecteurs non coplanaires correspondant aux couleurs primaires (rouge, vert et bleu). Il comprit que toute couleur pouvait être définie comme un vecteur dans l'espace, combinaison linéaire des trois primaires (en fait, il les représentait dans un triangle). En 1861, Maxwell obtint la première photographie en couleurs. L'écran que vous êtes en train de regarder fonctionne sur ce principe puisqu'un pixel peut être considéré comme un vecteur de dimension 3 codé en hexadécimal.