Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les opérations sur les limites de suites

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Opérations simples sur les limites de suites

La recherche de la limite d’une suite peut être un jeu d’enfant mais elle peut aussi se révéler un challenge intellectuellement très stimulant !

Lorsque l’expression d’une suite s’apparente à celle d’une fonction définie sur R, où apparaît plusieurs fois l’entier naturel n, on peut considérer qu’il s’agit d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de plusieurs suites. Soit par exemple (un) définie par un =  + sin ; on considérera qu’il s’agit de la somme d’une suite définie par vn =  et d’une autre définie par wn = sin n.

Supposons que l’entier n n’apparaisse que deux fois dans la formule algébrique. Si les deux suites tendent vers la même limite, pas de problème. Mais si elles se dirigent dans des directions opposées, il faut savoir laquelle l’emportera !

Ainsi, certaines limites sont évidentes à déterminer. Elles sont résumées dans les tableaux ci-dessous (inutile de les apprendre par cœur, les résultats se trouvent facilement). Il arrive aussi que des calculs complémentaires doivent être effectués pour arriver à une forme dûment homologuée ! Ces situations sont indiquées sous l’abréviation FI (forme indéterminée).

Ci-dessous, m et m’ désignent deux réels.

Additions

Tableau 1

limites de sommes

Produits

Tableau 2

limites de produits

Bien sûr, la règle des signes permet de savoir si la limite est plus ou moins l’infini.

Quotients

On considérera que (vn) est un numérateur et (wn) au dénominateur. On considérera aussi que m et m’ sont différents de 0.

Tableau 3

limites de quotients

Lorsqu’à l’infini (wn) tend vers 0, mais bien sûr sans jamais l’atteindre car le quotient n’aurait alors pas le bonheur d’exister, les limites sont les suivantes :

Tableau 4

limites de quotients

Exemples

1- Soit la suite (un) définie comme suit :

ex 1

À l’infini, la fonction inverse tend vers 0 (tableau 3, deuxième colonne) tandis que la fonction cube tend vers plus l’infini. Par conséquent, la limite de (un) est plus l’infini (tableau 1, deuxième colonne).

2- En revanche, si nous sommes en présence d’une suite (un) définie par un =  – n, le doute s’installe (tableau 1, quatrième colonne). Transformons cette expression en la factorisant et nous obtenons un = n(n – 1), donc un produit de suites. Or, un produit de deux facteurs dont les limites tendent vers plus l’infini tend lui aussi vers plus l’infini (tableau 3, troisième colonne). Ainsi :

limite infinie

3- Soit une autre suite (un) définie par :

ex 3

Sa limite est indéterminée (tableau 1, quatrième colonne). Toutefois, une différence de racines doit vous orienter vers la multiplication par la quantité conjuguée.

quantité conjuguée

Simplifions le numérateur.

simplification

simplification (fin)

Maintenant, nous sommes dans une configuration parfaitement claire (tableau 3, deuxième colonne). La limite de (un) est 0.

4- Suite homographique.

homographique

Forme indéterminée (tableau 3, quatrième colonne). Pour lever l’indétermination, l’astuce consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur par n.

factorisation

À l’infini, les quotients ayant n au dénominateurs tendent vers 0 (tableau 3, colonne 2). Il reste donc un quotient égal à a / c qui est par conséquent la limite de (un) (tableau 3, première colonne).

Mais encore...

Certaines opérations sur les limites sont employées en page limites de type qⁿ et en page propriétés des limites de suites.

 

limte de suite

 

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