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(et fondements mathématiques)

Gestion des stocks et loi normale

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Détermination d'un stock de sécurité par la loi normale

Vous l’avez probablement remarqué, nous vivons dans un monde incertain. Les voies choisies pour réduire cette angoissante incertitude sont multiples, de la plus scientifique à la plus ésotérique. Des millions d’emplois dans le monde sont plus ou moins dévolus à réduire cette part de mystère et des millions de pages web également…  Ce site y contribue modestement (les pages prévisions des ventes et analyse technique en sont deux portes d’entrée parmi d’autres). Ici, nous combattrons cet aléa sur le terrain de la gestion de stocks.

En effet, la sortie des stocks est liée à une demande souvent aléatoire (l’entrée en stock également si les délais de livraison sont variables mais nous ne verrons pas ici cette situation).

Cet aléa doit être maîtrisé pour éviter de coûteuses ruptures de stocks, grâce à la salvatrice présence d’un stock de sécurité.

Comment déterminer le niveau de celui-ci ? Il faut d’abord établir la loi de probabilités de la demande. Ce peut être une loi discrète ad hoc qui ne se rattache à aucune loi théorique (voir pages gestion de stocks avec demande aléatoire et technique matricielle de gestion de stocks). Ce peut être la loi de Poisson pour des articles qui n’ont pas une forte rotation (voir page gestion de stocks et loi de Poisson). Enfin, ce peut être la loi normale lorsque les quantités d’articles et leur rotation sont telles qu’une approximation par une loi continue est parfaitement envisageable.

Et quoi de plus clair qu’un exemple pour illustrer l’utilisation de la loi normale dans la gestion de stocks ?

Donc, exemple.

Soit un produit de consommation très courante, par exemple une encyclopédie sur la gestion de stocks. Celle-ci provoque un tel engouement populaire qu’un libraire prévoit d’en vendre 26 000 exemplaires dans l’année.

énoncé

Les commandes ne sont livrées que par multiples de 100.

La première étape consiste à définir la répartition des commandes dans le courant de l’année. Pour cela notre libraire, dont les compétences dépassent allègrement celle de la critique littéraire, utilise la formule de Wilson. Il apparaît alors qu’il doit passer vingt commandes de 1 300 articles. Je vous laisse vérifier ses calculs.

Internaute averti, notre libraire consulte régulièrement www.jybaudot.fr, ce qui lui permet d’établir l’écart-type des ventes entre deux commandes, soit 160, et de procéder à des tests de normalité, ce qui le conduit à considérer que ses ventes suivent une loi normale. Comme la période de référence est celle qui court entre deux commandes, l’espérance de cette loi est, par définition, de 1 300.

À partir de là, il est possible d’établir la statistique Z qui permet de trouver les valeurs de la loi normale centrée réduite dans une table.

normale centrée réduite

X représente le stock en début de période et m la consommation moyenne. Du coup, le numérateur est égal au stock de sécurité.

S’il n’y a pas de stock de sécurité, Z = 0. La probabilité lue dans une table ou donnée par un logiciel (Cf. ci-dessous) est égale à 0,5. C’est parfaitement logique puisque la loi de probabilité est symétrique, c’est-à-dire que la demande moyenne a autant de chances d’être dépassée que de ne pas l’être. Donc, si le stock en début de période est égal à cette moyenne, la probabilité d’être en rupture avant la fin de période est de 0,5. Celle-ci est le taux de service (un taux de service de 50 % ne signifie donc pas qu’un client sur deux est satisfait !).

Un tableau qui étudie différents niveaux de sécurité est facile à réaliser sur Excel (je vous signale au passage l’existence d’une page loi normale sur tableurs). La colonne Z est égale à la précédente divisée par un écart-type de 160. Pour le taux de service, il suffit d’appliquer la fonction =LOI.NORMALE .STANDARD à la colonne précédente.

taux de service

Prenons à présent le problème à l’envers. Le libraire choisit son taux de service et il détermine son stock de sécurité en conséquence. Son choix est un taux de 99%.

=LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(0,99) donne 2,3263. Il faut bien sûr MULTIPLIER ce nombre par l’écart-type pour obtenir le stock de sécurité. Celui-ci s’élève alors à 372.

Considérons pour terminer un autre choix, celui du stock de sécurité OPTIMAL.

Cet optimum est atteint lorsque le manque à gagner dû à la rupture est égal au coût de possession d’un article stocké (CPS).

Le CPS est ici de 15 % par an sur une base de 100 (coût d’achat) soit un montant unitaire de 15. Comme vingt commandes sont passées dans l’année, l’article reste en stock vingt fois moins longtemps qu’un an. Donc, 15 / 20 = 0,75.

Le manque à gagner n’est pas certain. Il s’agit de la marge, soit 130 – 100 = 30, affectée d’une probabilité de rupture à établir.

Puisque l’on a CPS = marge × proba de rupture, cette dernière est de 0,75 / 30 donc 0,025. Ceci revient à rechercher pour quel stock de sécurité on obtient un taux de service de 97,5 %.

Il nous reste donc à reprendre notre calcul précédent mais avec un taux de service moins élevé. On obtient la valeur de 1,96, bien connue des statisticiens. Cette valeur est à multiplier par l’écart-type de 160. On obtient un stock optimum de 314 (que notre libraire arrondit à 300).

 

gestion aléatoire

 

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