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(et fondements mathématiques)

Gestion des stocks et loi de Poisson

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Détermination d'un stock de sécurité par la loi de Poisson

La gestion d’un stock est souvent source d’âpres difficultés. Même lorsque les entrées sont à peu près bien maîtrisées (fournisseur respectueux des délais, chaîne de production réactive…), les sorties sont hélas soumises à des aléas incontrôlables. D’où la nécessité, sinon de prévoir ces derniers, du moins de vérifier s’ils obéissent à certaines règles.

Bonne nouvelle, grâce au secours bienveillant des statistiques et des probabilités, bienfaitrices du gestionnaire, ces règles peuvent être plus moins modélisées, en particulier par des lois de probabilités. Ceci limite à la fois les risques de rupture et les coûts de stockage.

La demande d’articles de biens de grande consommation obéit en principe à une loi normale. Les gestionnaires peuvent alors dévorer la page gestion des stocks et loi normale de ce site. Mais lorsque la demande est moins prévisible et qu’elle concerne des biens moins courants (pièces détachées, par exemple), elle se modélise par la loi de Poisson.

À la faveur d'un exemple, examinons sans plus attendre une enthousiasmante application.

Nous resterons dans le cadre des commandes à dates fixes.

Exemple

En établissant des statistiques, un négociant en peignes à girafes s’aperçoit qu’il vend quatre articles en moyenne par semaine et que, sur l’année, l’écart-type s’établit à 2. Les commandes passées au fournisseur sont hebdomadaires. Réalisant subitement que le carré de l’écart-type, c’est-à-dire la variance, est égal à la moyenne qu’il a observée, notre négociant entrevoit la merveilleuse possibilité d’utiliser la loi de Poisson pour gérer son stock de peignes.

Euphorique, il cherche la formule de gestion des stocks en univers incertain et la déniche dans un cours de fac pieusement conservé dans son coffre-fort :

fonction de stock

Précisons que D représente la demande sur la période, n est le stock maximal et p(D) est la loi de probabilité de la demande, en l’occurrence celle de Siméon Denis Poisson (1781 – 1840).

Par ailleurs, le négociant estime que le coût de possession du stock (CPS) et le coût de rupture (CR) sont proportionnels au temps. Le premier est huit fois moins élevé que le second.

Cette information lui permet d’établir la proportion du coût de pénurie par rapport au coût total. Ce rapport sera ensuite comparé à la fonction ci-dessus.

Rappel :

taux de service

Comme 8 CPS = CR, il est évident que ρ = 8 / 9, soit 0,8889 environ.

Notre cher négociant souhaite alors connaître les différentes valeurs pouvant être prises par L(n) pour chaque quantité demandée. La fabrication de peignes à girafe n’étant pas très rentable, il n’a pas les moyens de se payer des logiciels, aussi se sert-il du tableur d’OpenOffice. Ceci ne l’empêche pas de réaliser le magnifique tableau coloré ci-dessous.

La première colonne reprend les demandes possibles de la clientèle durant une semaine. Une demande de 14 correspond à la valeur maximale prise par une loi de Poisson de paramètre 4 lorsque l’on utilise quatre décimales.

La colonne bleue est celle des valeurs de la loi de Poisson cumulée avec un paramètre de 4. Sur le tableur, elles sont obtenues par la fonction =LOIPOISSON(valeur de gauche;4).

La colonne suivante n’appelle aucune précision.

Puis la colonne verte indique les probabilités non cumulées. Elles ne sont pas obtenues directement par une fonction du tableur mais par différence à partir de la colonne bleue (opération assez évidente). Ces chiffres permettent d’obtenir la colonne suivante.

Cette dernière, en jaune, est celle des sommes de p(D) / D à partir de D + 1. La première valeur est donc l’addition de toute la colonne précédente, puis on ôte 0,0733 pour obtenir la deuxième valeur et ainsi de suite.

La dernière colonne est l’application de la formule (la bleue plus le produit entre la troisième et la jaune).

exemple pour loi de poisson

Où se situe le coefficient rhô ? Entre les demandes 5 et 6. Il est d’ailleurs beaucoup plus près de 6. Par conséquent, le stock de début de période doit s’élever à six peignes, meilleur compromis possible entre le coût de rupture et celui de stockage compte tenu des aléas de la demande.

 

peigne à girafe

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés