Niveau de production ou de stock en univers incertain
Cette page montre l’utilité des matrices dans le cadre d’une gestion de stocks ou d’une production avec demande incertaine. On suppose que des commandes ont lieu à date fixe pour un nombre déterminé d’articles et qu’il a été possible d’établir une loi de probabilités empirique pour résumer les aléas de la demande.
De deux choses l'une. Soit les coûts de stockage dépendent du temps et il est possible d'utiliser une méthode matricielle, soit ces coûts sont indépendants du temps et il suffit d'appliquer une formule (voir la page stocks et demande aléatoire).
Toutefois, la méthode matricielle est elle aussi applicable à des coûts de stockage fixes, comme le montre l'exemple ci-dessous. Elle est juste un peu lourde... En revanche, elle accepte tous les aménagements possibles. Ici, un coût de surproduction est pris en compte.
Exemple
Il s’agit de déterminer un niveau de stock de produits en fonction d’éléments connus.
Chaque dimanche, un crémier fabrique des yaourts pour les revendre sur les marchés pendant la semaine. Le coût de revient unitaire est de 10 cts et le coût de réfrigération est estimé à 0,5 ct par semaine. On suppose que ce dernier représente la totalité du coût de possession du stock (CPS), le yaourt étant vendu 1 €. Le volume des ventes se situe toujours entre 25 et 34 unités par semaine. Immanquablement, lorsque le crémier est en rupture de stock, ses clients lui demandent « vous n’avez plus de yaourt ? » ce qui l’énerve un peu mais cette habitude lui permet d’évaluer correctement le nombre de demandes non satisfaites. Ainsi, le crémier a pu établir des statistiques de demandes (satisfaites ou non) au cours des 25 dernières semaines.
On lit par exemple qu’il n’a vendu qu’une seule fois 25 yaourts durant la semaine. Comme il a établi ses statistiques sur 25 semaines, la probabilité correspondante est donc de \(\frac{1}{25} = 0,04.\)
Traitement avec tableur
Le tableau suivant indique quel est le CPS en centimes pour chaque cas de figure. Les colonnes indiquent les quantités demandées tandis que les quantités produites, donc les stocks initiaux, figurent en lignes.
Explication : sur la diagonale, la production est bien calibrée. Si par exemple le crémier avait prévu 26 yaourts et qu’il en vend 26, le stock moyen est de 13 unités. On a donc \(13 × 0,5\) cts \(\) \(6,5\) cts.
En zone rose, le crémier a prévu trop de yaourts. S’il en a produit 34 et que la demande est de 26, on applique la formule vue plus haut \(34 - \frac{26}{2} × 0,5\) cts, ce qui donne un CPS total de 10,5 cts.
En revanche, en zone bleue, les clients ne sont pas tous servis. S’ils en avaient demandé 34 alors que le crémier n’en a prévu que 26, le CPS s’établit à un stock moyen de \(\frac{26}{2} = 13\) pendant une période de \(\frac{26}{34}\) que multiplie un coût de 0,5. Soit 4,9706 arrondi à 5,0 cts.
Tous les coûts de pénurie envisageables figurent quant à eux dans le tableau ci-dessous.
Pour simplifier, nous avons estimé que ce coût de pénurie était le manque à gagner sur un yaourt demandé mais non produit, soit le résultat d’exploitation unitaire de 90 cts. Supposons que le crémier prévoit 25 yaourts alors que 34 auraient pu être écoulés, on obtient un coût de 90 cts appliqués à une pénurie moyenne de \(\frac{34 - 25}{2} = 4,5\) yaourts. Donc 405 cts.
Notez que dans cet exemple, le coût de pénurie est considéré comme indépendant du temps. Ce n’est pas toujours le cas. Supposons que la yaourtière soit toujours louée pour la journée du dimanche ; le coût de pénurie inclut alors un coût d’immobilisation.
Comme notre exemple illustre davantage un problème de production que de stock, ajoutons un troisième coût, celui de la surproduction. Malgré la gourmandise du crémier qui consomme volontiers ses invendus en fin de semaine, on suppose qu’il s’agit bien d’une perte de 10 cts par unité. Notre seconde matrice est modifiée comme suit :
On obtient une matrice de coûts en faisant la somme des deux tableaux. Reste à opérer une multiplication de matrices. Pour cela, les probabilités prennent la forme d’une matrice colonne.
Que remarquer ? Que le coût minimal est celui de la septième ligne, c’est-à-dire celle qui correspond à une production de 31 yaourts. L’espérance de coût total s’établit alors à 46,51 cts.
