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(et fondements mathématiques)

Les probabilités

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Probabilités : rappels et vocabulaire

Cette page constitue un rappel du vocabulaire et des principes de ces chères probas... Comme le lectorat d'un tel sujet est assez large, ce site comporte aussi une initiation aux probabilités complétée d'une page d'exercies qui seront plus utiles que celle-ci aux lycéens de seconde...

Vocabulaire

Selon le Petit Larousse, une probabilité est la « mesure des chances de réalisation d'un événement aléatoire ». Oui, mais justement, qu'est-ce qu'un événement ?

Un événement élémentaire est le résultat observé d'un phénomène aléatoire (ou issue). Mais un événement peut aussi traduire une conjonction de plusieurs issues (faire un double six avec deux dés, par exemple) ou un ensemble d'issues possibles (obtenir un nombre pair avec un dé). L’épreuve est le terme utilisé pour qualifier l’acte ou l’occurrence qui se traduit par un événement (lancer de dés, tirage de cartes…).

Mathématiquement, une mesure de probabilité est une application définie sur un espace probabilisable dans l'intervalle [0 ; 1]. Si l'événement a une chance sur deux de se produire, la probabilité s’établit à 0,5.

Deux événements sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent survenir en même temps. Si vous lâchez une tartine (épreuve), elle tombe soit du côté pain (événement A), soit du côté confiture (événement B). Formellement : A ∩ B = Ø. Dans ce cas, B est l’événement contraire de A.

Lorsque tous les événements ont la même probabilité de survenir, on parle d’équiprobabilité.

La probabilité que l’événement A survienne est notée P(A), plus rarement Pr(A).

Les propriétés suivantes doivent donc vous sembler évidentes (la seconde est la probabilité de l’événement contraire) :

propriétés

Additivité

On retrouve les notations de la théorie des ensembles. Si deux événements A et B sont possibles, la formule fondamentale, qui se devine d’ailleurs avec un peu de bon sens, est : P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B).

Le terme soustrait indique qu’on ne compte pas deux fois l’événement où les deux probabilités apparaissent. Ceci devient plus compliqué lorsque plus de deux événements sont possibles : c’est alors la formule de Poincarré qui généralise la formule d’additivité.

Illustrons ceci avec cet extrait tiré de l’épreuve du bac ES 2007 de Nouvelle-Calédonie.

Une machine produit des pièces dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut A et le défaut B, à l’exclusion de tout autre défaut. (…) 28% ont le défaut A, 37 % ont le défaut B et 10 % ont les deux défauts. (…) Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?

La réponse est évidemment 0,28 + 0,37 – 0,10 = 0,55 (une autre réponse possible aurait été de conseiller l’envoi d’une telle machine à la casse mais on aurait bêtement perdu 1 point sur l’épreuve…).

La suite de l’exercice s’intéresse aux seules pièces n’ayant qu’un défaut. Les probabilités sont disjointes. Nous allons poursuivre l’exploration de cet exemple pour découvrir quelques amusements supplémentaires.

On admet que 40 % de ces pièces ont seulement le défaut A et que 60 % de ces pièces ont seulement le défaut B. (…) 40 % des pièces qui ont le défaut A sont réparables et 30 % des pièces qui ont le défaut B sont réparables. On choisit une pièce au hasard.

L’énoncé demande ensuite de nommer les événements (A si défaut A, B si défaut B et R si réparable) et de tracer un arbre pondéré, ce que l’on ne fera pas ici.

A et B forment une partition de l’univers des possibles.

Calculer la probabilité de l’événement « la pièce choisie a le défaut A et est réparable ».

On sait que 40 % des pièces ont le défaut A et, parmi ces dernières, 40 % sont réparables. La probabilité cherchée est donc de 0,4 × 0,4 = 0,16.

Probabilités totales

Calculer la probabilité de l’événement « la pièce choisie est réparable ».

Il s’agit de trouver une probabilité totale, ce total étant la somme des probabilités des événements où la pièce est réparable :

probabilités totales

On a calculé le premier terme à la question précédente (0,16), on fait maintenant la même chose pour le second (0,3 × 0,6 = 0,18). L’addition des deux nous permet d’affirmer que la probabilité qu’une pièce est réparable s’établit à 0,34 (et accessoirement que le responsable de la qualité ferait mieux de livrer des pizzas).

Probabilités conditionnelles

Une probabilité est conditionnelle si elle est calculée « à condition » qu’un événement survienne. Dans une épreuve du bac, la probabilité est très forte pour que la formule ci-dessous doive être écrite si l’énoncé commence par « sachant que… » :

probabilité conditionnelle

Sachant que (tiens, je vous l’avais bien dit !) la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu’elle ait le défaut A.

Ne soyez pas rebuté pat le côté irréel d’une telle question, les probabilités conditionnelles ouvrent un champ particulièrement fécond et opérationnel aux statistiques (notamment par le théorème de Bayes).

La réponse à la question est 0,16 / 0,34 = 8 / 17.

La fin de cet exercice est traité en page probabilités d'événements indépendants.

Loi de probabilité

Lorsqu’une probabilité est associée à chaque événement possible, cette mesure est appelée loi de probabilité. Certaines sont faciles à résumer sous forme de tableau. Supposons un autre exemple...

loi ad hoc

Voir aussi la page problèmes de probabilités (entre autres).

Bien souvent, de telles lois établies après une longue observation sont remplacées par des lois théoriques qui permettent de dépasser cet aspect purement descriptif grâce à leurs propriétés. Les cas ne manquent pas sur ce site pour montrer les bienfaits des modélisations ! Concrètement, c'est à partir d'un test d'adéquation que l'on s'autorise ou non ce tour de passe-passe (khi², Kolmogorov-Smirnov ou autre...).

 

amoureux

 

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