Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La forme trigonométrique des complexes

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Forme polaire des complexes et formules de Moivre

Pour le commun des mortels, les nombres complexes, qui possèdent une partie imaginaire, semblent constituer une élucubration située à l’opposé des mathématiques appliquées. Il est vrai qu’hormis les opérations algébriques simples, les notions statistiques et les calculs d’intérêts, les mathématiques constituent une planète qui s’éloigne au fur et à mesure qu’on avance dans sa carrière (hormis bien sûr dans l'ingénierie).

Pourtant, les complexes sont utilisés dans des domaines où l'on ne les attend pas forcément, comme par exemple les prévisions cycliques. Et ces prévisions sont bien utiles car toute entreprise vit au rythme d’une saisonnalité et de cycles économiques.

Les nombres complexes apparaissent sous trois formes.

La forme algébrique

La forme la plus simple est la forme algébrique. Facile à travailler, elle ne permet cependant pas des développements aussi intéressants que les autres formes. Pour vous entraîner à la manipuler, cap sur les pages opérations avec complexes, conjugué, exercices de réécriture et équations du second degré.

Ainsi le nombre complexe z peut être présenté sous forme de coordonnées d’un plan complexe dont l’axe horizontal représente la partie réelle alors que la composante imaginaire se situe sur l’axe vertical.

La forme trigonométrique (polaire)

Si, dans un plan muni d'un repère, un point peut être défini par ses coordonnées cartésiennes, il peut aussi l'être avec ses coordonnées polaires, c’est-à-dire avec la longueur d'un vecteur par rapport à l'origine et la mesure de l'angle que celui-ci forme avec l’axe horizontal.

Cette longueur s’appelle le module. Noté r ou rhô (ρ), il a pour valeur un nombre positif et on le présente comme la valeur absolue du complexe z. Donc, r = |z|.

Vous devinez bien sûr que le module d'un complexe est égal au module de son conjugué. On résume d'ailleurs les égalités de modules à l'aide d'une représentation bien connue. Ici, M1 est le point d'affixe z, M2 est celui de son conjugué, M3 est celui de l'opposé du conjugué et M4 est celui de -z.

Bien sûr, si z = 0, alors |z| = 0.

Le module possède quelques charmants attraits : le module des produits est égal au produit des modules, soit |z| . |z’| = |zz’|, et idem pour l’inverse et pour le quotient. De plus, |zn| = |z|n.

modules

On le découvre sans difficulté, le module est la distance entre O et un point M. Donc, algébriquement :

distance

Ainsi le produit de z et de son conjugué est égal à  + .

L’angle est nommé l’argument, soit arg z. Il se note avec la lettre grecque thêta (lettre qui a toujours fait un malheur dans l’appellation des angles) : arg z (2π) = θ.

Algébriquement...

argument

Vous faites d'ailleurs le lien avec vos souvenirs de collège sur le triangle rectangle (le cosinus d'un angle est égal à la longueur du côté adjacent sur l'hypoténuse et le sinus à celle du côté opposé sur l'hypoténuse).

Des exercices simples se trouvent en page réécriture de nombres complexes (de la forme algébrique à la trigonométrique).

Les propriétés des arguments sont les suivantes, pour z et z’ deux complexes non nuls :

arguments

Par ailleurs, l'argument de 0 n'existe pas.

Les coordonnées polaires se présentent sous une forme vectorielle z = (r,θ) ou sous une forme trigonométrique : z = r(cos θ + i sin θ). C'est la formule qu'il faut à tout prix retenir.

Formule de Moivre :

Très utile : (cos θ + i sin θ)cos nθ + i sin nθ.

Réciproquement, (cos θ – i sin θ)cos nθ – i sin nθ.

La forme exponentielle

Voir la page forme exponentielle des nombres complexes.

 

polaire

 

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