La forme trigonométrique des complexes

Forme polaire des complexes

Pour le commun des mortels, les nombres complexes, qui possèdent une partie imaginaire, semblent constituer une élucubration située à l’opposé des mathématiques appliquées. Il est vrai qu’hormis les opérations algébriques simples, les notions statistiques et les calculs d’intérêts, les mathématiques représentent une planète qui s’éloigne au fur et à mesure qu’on avance dans sa carrière (hormis bien sûr dans l'ingénierie).

Pourtant, les complexes sont utilisés dans des domaines où l'on ne les attend pas forcément, comme par exemple les prévisions cycliques. Et ces prévisions sont bien utiles car toute entreprise vit au rythme d’une saisonnalité et de cycles économiques.

Les nombres complexes apparaissent sous trois formes.

 

La forme algébrique

La forme la plus simple est la forme algébrique. Facile à travailler, elle ne permet cependant pas des développements aussi intéressants que les autres formes. Pour vous entraîner à la manipuler, cap sur les pages opérations avec complexes, conjugué, exercices de réécriture et équations du second degré.

Ainsi le nombre complexe \(z\) peut être présenté sous forme de coordonnées dans un plan complexe dont l’axe horizontal représente la partie réelle alors que la composante imaginaire se situe sur l’axe vertical.

 

La forme trigonométrique (polaire)

Si, dans un plan muni d'un repère, un point peut être défini par ses coordonnées cartésiennes, il peut aussi l'être avec ses coordonnées polaires, c’est-à-dire avec la longueur d'un vecteur par rapport à l'origine et la mesure de l'angle que celui-ci forme avec l’axe horizontal.

angle

Cette longueur s’appelle le module. Parfois noté \(r\) ou rhô (\(ρ\)), il a pour valeur un nombre positif et on le présente comme la valeur absolue du complexe \(z.\) Donc, \(r = |z|.\)

Vous devinez bien sûr que le module d'un complexe est égal au module de son conjugué. On résume d'ailleurs les égalités de modules à l'aide d'une représentation bien connue. Ici, \(M_1\) est le point d'affixe \(z,\) \(M_2\) est celui de son conjugué, \(M_3\) est celui de l'opposé du conjugué et \(M_4\) est celui de \(-z.\)

Bien sûr, si \(z = 0,\) alors \(|z| = 0.\)

Autre propriété : \(|z|^2 = z \overline{z}.\) Démontrons-la.

Le module est la distance entre l'origine \(O\) et un point \(M.\)

\(|z|\) \(=\) \(\sqrt{(x_M - x_0)^2 + (y_M - y_0)^2}\) \(=\) \(\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2}\)

Donc \(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\) et comme \(x^2 + y^2 \geqslant 0\) alors \(|z|^2 = x^2 + y^2\)

Par ailleurs, \(z \times \overline{z}\) \(=\) \((x + iy)(x - iy)\) \(=\) \(x^2 + y^2.\) La démonstration est faite.

Exemple d'utilisation de cette propriété avec le cercle dans le plan complexe.

Opérations : le module d'un produit est égal au produit des modules, soit \(|z| \times |z’| = |zz’|.\) La démonstration se trouve en page de module d'un produit. Les différentes opérations à connaître figurent dans le tableau ci-dessous.

Produit \(|zz'|=|z| \times |z'|\)
Inverse
\((z \ne 0)\)
\(\left|\frac{1}{z}\right| = \frac{1}{|z|}\)
Quotient
\((z' \ne 0)\)
\(\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}\)
Puissance\((n \in \mathbb{Z})\) \(|z^n| = |z|^n\)

L’angle est nommé l’argument, soit \(\arg z.\) Il se note avec la lettre grecque thêta (lettre qui a toujours fait un malheur dans l’appellation des angles) : \(\arg z (2π) = θ.\)

On écrit \(\cos \theta = \displaystyle{\frac{x}{r}}\) et \(\sin \theta = \displaystyle{\frac{y}{r}}\)

Vous faites d'ailleurs le lien avec vos souvenirs de collège sur le triangle rectangle (le cosinus d'un angle est égal à la longueur du côté adjacent sur l'hypoténuse et le sinus à celle du côté opposé sur l'hypoténuse).

Des exercices simples se trouvent en page de réécriture de nombres complexes (de la forme algébrique à la trigonométrique).

Les propriétés des arguments sont les suivantes, pour \(z\) et \(z’\) deux complexes non nuls :

Produit \(\arg(zz') = \arg z + \arg z'(2\pi)\)
Inverse
\((z \ne 0)\)
\(\arg (\frac{1}{z}) = - \arg z (2 \pi)\)
Quotient
\((z' \ne 0)\)
\(\arg(\frac{z}{z'}) = \arg z - \arg z' (2 \pi)\)
Puissance\((n \in \mathbb{Z})\) \(\arg (z^n) = n \arg z (2 \pi)\)

Par ailleurs, l'argument de 0 n'existe pas.

Les coordonnées polaires se présentent sous une forme vectorielle \(z = (r,θ)\) ou sous une forme trigonométrique : \(z = r(\cos θ + i\sin θ).\) C'est la formule qu'il faut à tout prix retenir.

 

La forme exponentielle

Voir la forme exponentielle des nombres complexes et la formule de Moivre.

 

polaire