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(et fondements mathématiques)

Un cercle dans le plan complexe

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Différentes formes des complexes au bac S

Cette page vous propose une bonne révision de niveau terminale S en matière de nombres complexes. Il s’agit d’un exercice issu de l’épreuve du bac S de Nouvelle-Calédonie, novembre 2016.

Exercice

On se place dans le plan complexe rapporté au repère (O, u, v). Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe f(z) défini par :

f(z) = z + (1/z)

On appelle M le point d’affixe z et M’ le point d’affixe f(z).

1. On appelle A le point d’affixe :

a = -(rac2/2) + i(rac2/2)

a. Déterminer la forme exponentielle de a.
b. Déterminer la forme algébrique de f(a).

2. Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation f(z) = 1.

3. Soit M un point d’affixe z du cercle C de centre O et de rayon 1.
a. Justifier que l’affixe z peut s’écrire sous la forme z = e avec θ un nombre réel.
b. Montrer que f(z) est un nombre réel.

4. Décrire et représenter l’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) soit un nombre réel.

Corrigé détaillé

1. a. Pour écrire sous forme exponentielle un nombre complexe présenté sous forme algébrique, voir la page forme exponentielle des nombres complexes.

Première étape :

|a|

|a|

Seconde étape. Comme |a| = 1 on peut écrire :

2nde étape

Rappelons le lien entre forme exponentielle et forme trigonométrique : e = cos α + i sin α. Donc :

cos a et sin a

La résolution est du niveau de la classe de seconde. Vous la trouverez d’ailleurs en version particulièrement détaillée page exercices de trigonométrie. La solution est 3π / 4 + 2 avec k entier relatif. Par conséquent :

a = exp(i3pi/4)

b. Il est évident que nous allons partir de l'expression de l’énoncé et non de la forme exponentielle mais nous savons que |a| = 1. Rappelons une propriété des modules. Pour tout complexe z :

|z|² = z zbarre

Donc en faisant intervenir le conjugué de a :

|a|² = 1

Ainsi...

f(a) = a + 1/a

avec conjugué

f(a) est la somme de a et de son conjugué.

f(a)

Il est aisé de simplifier cette expression.

f(a) = - racine 2

2. Soit f(z) = 1. Il s'ensuit que...

avec expression de f

étape suiv

Et on arrive à une équation du second degré : z² – z + 1 = 0. Calculons le discriminant : Δ = 1 – 4 = -3. Il s’ensuit que l’équation admet deux solutions conjuguées :

z1 et z2

3. a. Comme OM = 1, |z| = 1. Donc z = |z|e = e
b.

forme expo de f

Donc f(z) = e + e-iθ c’est-à-dire la somme d’un nombre complexe et de son conjugué. Donc f(z) est un réel.

4. f(z) est un réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Partons de la forme algébrique de z.

forme algébrique de f

Le détail des calculs n'est pas reproduit ici. Il fait l'objet de l'exercice 2 de la page fonctions dans l'ensemble des complexes.

Nous arrivons à l’équation y( +  – 1) = 0.

Première possibilité, y = 0. Graphiquement, c’est l’axe des abscisses. Mais souvenons-nous que z ne doit pas être nul. Ce n’est pas très facile à représenter graphiquement mais l’origine ne fait pas partie des solutions.

Seconde possibilité :  +  = 1. C’est l’équation d’un cercle de centre O et de rayon 1.

cercle et axe x

 

hula hoop

 

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