Quelques équations avec nombres complexes

Équations du second degré dans \(\mathbb{C}\)

Niveau de difficulté de cette page : terminale générale (maths expertes).

En classe de première, vous avez appris à résoudre des équations et inéquations du second degré. Du moins lorsque le discriminant \(\Delta\) était positif car dans le cas contraire, l’affaire était pliée.

Mais à présent, vous évoluez dans une sorte de monde parallèle, celui des nombres complexes. Un monde où tout semble possible. Tout ? pas vraiment ; mais ici il existe des solutions aux équations de degré 2, même lorsque \(\Delta\) est négatif.

 

Racines complexes

Rappel : pour une équation de type \(ax^2 + bx + c\) \(=\) \(0,\) on a \(Δ = b^2 - 4ac\) (avec \(a \ne 0\)).

Ainsi, dans \(\mathbb{C},\) pour une équation de type \(az^2 + bz + c\) \(=\) \(0,\) nous avons pour solutions deux racines complexes conjuguées :

\(z_1 = \frac{-b + i\sqrt{|\Delta |}}{2a}\) et \(z_1 = \frac{-b - i\sqrt{|\Delta |}}{2a}\)

Notez que \(Δ\) étant négatif, on peut aussi bien écrire \(|Δ|\) que \(-Δ.\)

 

Exercices

Exercice 1 (résolution d’une équation de degré 2)

Résoudre l’équation suivante dans \(\mathbb{C}.\) Pour info, elle est extraite de l’épreuve du bac S de juin 2015 (France métropolitaine).

\(z^2 - 8z + 64 = 0\)

Exercice 2 (résolution d’une équation de degré 3)

Cet exercice est extrait de l’épreuve du bac S de juin 1998 (Antilles-Guyane).

    On considère le polynôme \(P\) de la variable complexe \(z\) défini par :
    \(P(z)\) \(=\) \(z^4 + 2 \sqrt{3}z^3 + 8z^2 + 2\sqrt{3}z + 7\)
    1- a) Calculer \(P(i)\) et \(P(-i).\)
    b) Montrer qu’il existe un polynôme \(Q\) du second degré, que l’on déterminera, tel que :
    pour tout \(z ∈ \mathbb{C},\) \(P(z) = (z^2 + 1)Q(z).\)
    2- Résoudre dans l’ensemble des complexes l’équation \(P(z) = 0.\)

 

Corrigés

Corrigé 1

Calculons le discriminant :\(Δ\) \(=\) \(64^2 - 4 × 64\) \(=\) \(-192\)

Il est négatif ; l’équation n’admet pas de solution dans \(\mathbb{R}\) mais elle en admet dans \(\mathbb{C}.\)

\(z_1\) \(=\) \(\frac{8 - i\sqrt{192}}{2}\) \(=\) \(\frac{8 - 8i\sqrt{3}}{2}\) \(=\) \(4 - 4i \sqrt{3}\)

\(z_2\) \(=\) \(\frac{8 + i\sqrt{192}}{2}\) \(=\) \(\frac{8 + 8i\sqrt{3}}{2}\) \(=\) \(4 + 4i \sqrt{3}\)

\(S = \{4 - 4i \sqrt{3}\,; 4 + 4i \sqrt{3}\}\)

Corrigé 2

1- a) \(P(i)\) \(=\) \(1 - 2 \sqrt{3}i - 8 + 2 \sqrt{3}i + 7\) \(=\) \(0\)

\(P(-i)\) \(=\) \(-1 + 2 \sqrt{3}i + 8 - 2 \sqrt{3}i - 7\) \(=\) \(0\)

b) Posons \(P(z)\) \(=\) \((z^2 + 1)(az^2 + bz + c).\) Développons.

\(P(z)\) \(=\) \(az^4 + bz^3 + cz + az^2 + bz + c\)

Identifions.

\(az^4 + bz^3 + cz + az^2 + bz + c\) \(=\) \(z^4 + 2 \sqrt{3}z^3 + 8z^2 + 2 \sqrt{3}z + 7\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1}\\ {b = 2\sqrt 3 }\\ {a + c = 8}\\ {c = 7} \end{array}} \right.\)

Par conséquent : \(P(z)\) \(=\) \((z^2 + 1)(z^2 + 2\sqrt{3}z + 7)\)

2- Un produit est nul lorsqu’au moins l'un de ses facteurs est nul.

Le premier est nul si \(z = i\) ou si \(z = -i\) (vu à la question 1- a)).

Pour connaître les racines du second facteur, calculons d’abord le discriminant.

\(Δ = 12 - 4 × 7 = -16\)

Il est négatif. Recherchons les racines du polynôme dans \(\mathbb{C}.\)

\(z_1\) \(=\) \(\frac{-2\sqrt{3} - i\sqrt{16}}{2}\) \(=\) \(-\sqrt{3} - 2i\)

\(z_2\) \(=\) \(\frac{-2\sqrt{3} + i\sqrt{16}}{2}\) \(=\) \(-\sqrt{3} + 2i\)

\(S\) \(=\) \(\{-i\,; i\,; -\sqrt{3} - 2i\,; -\sqrt{3} + 2i\}\)