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(et fondements mathématiques)

Quelques équations avec nombres complexes

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Équations du second degré dans C

Niveau de difficulté de cette page : terminale S.

En classe de première, vous avez appris à résoudre des équations et inéquations du second degré. Du moins lorsque le discriminant (Δ) était positif car dans le cas contraire, l’affaire était pliée.

Mais à présent, vous évoluez dans une sorte de monde parallèle, celui des nombres complexes. Un monde où tout semble possible. Tout ? pas vraiment ; mais ici il existe des solutions aux équations de degré 2, même lorsque Δ est négatif.

Rappel : pour une équation de type ax² + bx + c = 0, on a Δ =  – 4ac (avec a  0).

Ainsi, dans C, pour une équation de type az² + bz + c = 0, nous avons :

solution double

Notez que Δ étant négatif, on peut aussi bien écrire |Δ| que -Δ.

Exercice 1 (démonstration)

À partir de la forme canonique, donnez l’expression des racines z1 et z2.

Rappelons que la forme canonique s’écrit ainsi :

forme canonique

Exercice 2 (résolution d’une équation de degré 2)

Résoudre l’équation suivante dans C. Pour info, elle est extraite de l’épreuve du bac S de juin 2015 (France métropolitaine).

 – 8z + 64 = 0

Exercice 3 (résolution d’une équation de degré 3)

Cet exercice est extrait de l’épreuve du bac S de juin 1998 (Antilles-Guyane).

On considère le polynôme P de la variable complexe z défini par :

P(z)

1- a) Calculer P(i) et P(-i).

b) Montrer qu’il existe un polynôme Q du second degré, que l’on déterminera, tel que :

pour tout z ∈ C, P(z) = (z² + 1)Q(z).

2- Résoudre dans l’ensemble des complexes l’équation P(z) = 0.

Corrigé 1

L’idée de poser l’égalité suivante est la principale difficulté :

delta

Ainsi nous obtenons :

étape intermédiaire

Factorisons (identité remarquable).

factorisation

Selon le théorème du produit nul, l’équation est égale à 0 si l’un des facteurs est nul. Comme a ≠ 0, on obtient bien les deux racines conjuguées

racines

Corrigé 2

Calculons le discriminant : Δ = 64² – 4 × 64 = -192

Il est négatif ; l’équation n’admet pas de solution dans R mais en admet dans C.

z1

z2

solutions

Corrigé 3

1- a)

p(i)

p(-i)

b) Posons P(z) = (z² + 1)(az² + bz + c). Développons.

P(z) = az4 + bz3 + cz + az² + bz + c

Identifions.

P(z)

identification

Par conséquent :

P(z)

2- Un produit est nul lorsqu’au moins un de ses facteurs est égal à 0.

Le premier est nul si z = i ou si z = -i (vu à la question 1- a)).

Pour connaître les racines du second facteur, calculons d’abord le discriminant.

Δ = 12 – 4 × 7 = -16

Il est négatif. Recherchons les racines du polynôme dans C.

 z1

z2

solutions

 

 

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