Représentation graphique d'un nombre complexe
La première rencontre avec les nombres complexes est souvent déroutante. Heureusement, le plan complexe est là pour apporter un repère visuel. L'idée de cette représentation revient, indépendemment, à Carl Friedrich Gauss et William Rowan Hamilton. Parmi ses qualités, celle de vous permettre la réalisation de quelques exercices (pour votre plus grande joie) et d'utiliser les propriétés des complexes en géométrie.
Ce plan est muni d’un repère orthonormé \((O\,;\overrightarrow u ,\overrightarrow v ).\)
Points
À tout point \(M(x\,;y)\) du plan est associé le nombre complexe \(z = x + iy\) (avec \(i^2 = -1\)).
Ainsi l’axe des abscisses est tout simplement l’axe des réels tandis que l’axe des ordonnées est celui des imaginaires purs.
\(z_M\) est l’affixe du point \(M(z).\)
\(M(z)\) est le point image de \(z_M.\)
Vous avez déduit de tout ceci que le point image d’un complexe et celui de son conjugué sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Ci-dessous, l’affixe de \(M(z)\) est \(z_M = 4 + 3i.\)
Vecteurs
À tout vecteur du plan est associé un nombre complexe, affixe de ce vecteur. Réciproquement, on parle du vecteur image d’une affixe.
L’affixe de la somme de deux vecteurs est égale à la somme des affixes de chacun des vecteurs.
Exemple : \({z_{\overrightarrow w }} = 2 + 3i\) et \({z_{\overrightarrow {w'} }} = 4 + 2i\) alors \({z_{\overrightarrow w + \overrightarrow {w'} }} = 6 + 5i\)
Autres propriétés. Soit \(k\) un réel.
\(k{z_{\overrightarrow w }} = {z_{k \overrightarrow w }}\)
Soit \(A\) et \(B\) deux points du plan complexe.
\({z_{\overrightarrow {AB} }} = z_B - z_A\)
Soit \(I\) le milieu de \([AB].\)
\(z_I = \frac{1}{2}(z_A + z_B)\)
Exercice facile
1- Placer dans le plan complexe les points \(A(1\,;0),\) \(B(5\,;2),\) \(C(3\,;-1)\) et \(D(-1\,; -3).\)
2- Déterminer les affixes des points \(A,\) \(B,\) \(C\) et \(D.\)
3- Déterminer les affixes des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}.\)
4- En déduire la nature du quadrilatère \(ABCD.\)
Éléments de corrections
1- Avec Geogebra…
2- \(z_A = 1 + 0i,\) \(z_B = 5 + 2i,\) \(z_C = 3 - 1i\) et \(z_D = -1 - 3i.\)
3- \(z_B - z_A\) \(=\) \((1 + 0i) - (5 + 2i)\) \(=\) \(-4 - 2i\)
\(z_D - z_C\) \(=\) \((-1 - 3i) - (3 - 1i)\) \(=\) \(-4 - 2i\)
4- Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) ont la même affixe. Ils sont donc égaux et nous en déduisons que \(ABCD\) est un parallélogramme.
Exercice extrait d’une épreuve de bac S (la Réunion, 1997)
- (…) À tout point \(M\) du plan d’affixe \(z,\) différente de zéro, on associe les points \(M'\) et \(M''\) d’affixes respectives \(z'\) et \(z''\) définies par \(z' = iz\) et \(z'' = z^2.\)
- Soit \(A\) le point d’affixe \(a = 2 - i.\) On appelle \(A'\) et \(A''\) les points associés à \(A.\)
- Déterminer, sous forme algébrique, les affixes \(a'\) et \(a''\) des points \(A'\) et \(A''.\) Prouver que \(A\) est le milieu du segment \([A'A''].\)
Éléments de correction
Pour un rappel sur les opérations, voir les opérations avec complexes sous leur forme algébrique.
\(a = i(2 - i) = 2i - i^2 = 1 + 2i\)
\(a'' = (2 - i)^2 = 2^2 - 4i + i^2 = 3 - 4i\)
Calcul du milieu de \([a'a'']\)
Son affixe est égale à \(0,5(a' + a'')\)
Soit \(0,5(1 + 2i + 3 - 4i)\)
\(= 0,5(4 - 2i)\)
\(= 2 - i.\)
Or, \(2 - i\) est l’affixe de \(A.\) Donc \(A\) est le milieu de \([A'A''].\)
