Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le plan complexe

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Représentation graphique d'un nombre complexe

La première rencontre avec les nombres complexes est souvent déroutante. Heureusement, le plan complexe est là pour apporter un repère visuel. Il permet aussi de faire quelques exercices (pour votre plus grande joie) et d'utiliser les propriétés des complexes en géométrie.

Ce plan est muni d’un repère orthonormé :

repère

Points

À tout point M (x ; y) du plan est associé le nombre complexe z = x + iy (avec  = -1).

Ainsi l’axe des abscisses est tout simplement l’axe des réels tandis que l’axe des ordonnées est celui des imaginaires purs.

zM est l’affixe du point M(z). M(z) est le point image de zM.

Vous avez déduit de tout ceci que le point image d’un complexe et celui de son conjugué sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Ci-dessous, l’affixe de M(z) est zM = 4 + 3i.

plan

Vecteurs

À tout vecteur du plan est associé un nombre complexe, affixe de ce vecteur. Réciproquement, on parle du vecteur image d’une affixe.

L’affixe de la somme de deux vecteurs est égale à la somme des affixes de chacun des vecteurs.

Exemple :

exemple

Autres propriétés. Soit k un réel.

kzw

Soit A et B deux points du plan complexe.

zAB = zB - zA

Soit I le milieu de [AB].

zi = moitié de zA + zB

Exercice facile

1- Placer dans le plan complexe les points A(1 ; 0), B(5 ; 2), C(3 ; -1) et D(-1 ; -3).

2- Déterminer les affixes des points A, B, C et D.

3- Déterminer les affixes des vecteurs AB et DC.

4- En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

Éléments de corrections

1- Avec Geogebra…

points placés

2- zA = 1 + 0i, zB = 5 + 2izC = 3 – 1i et zD = -1 – 3i.

3- zB – zA = (1 + 0i) – (5 + 2i) = -4 – 2i
zD – zC = (-1 – 3i) – (3 – 1i) = -4 – 2i

4- Les vecteurs AB et DC ont la même affixe. Ils sont donc égaux, ce qui montre que ABCD est un parallélogramme.

Exercice extrait d’une épreuve de bac S (la Réunion, 1997)

(…) À tout point M du plan d’affixe z, différente de zéro, on associe les points M’et M’’ d’affixes respectives z’ et z’’ définies par z’ = iz et z’’ = .

Soit A le point d’affixe a = 2 – i. On appelle A’ et A’’ les points associés à A.

Déterminer, sous forme algébrique, les affixes a’ et a’’ des points A’ et A’’. Prouver que A est le milieu du segment [A’A’’].

Éléments de correction

Pour un rappel sur les opérations, voir la page opérations avec complexes sous leur forme algébrique.

a’ = i(2 – i) = 2i –  = 1 + 2i
a’’ = (2 – i)² = 2² – 4i + = 3 – 4i

Calcul du milieu de [a’a’’]

Son affixe est égale à 0,5(a’ + a’’)

Soit 0,5(1 + 2i + 3 – 4i)
= 0,5(4 – 2i)
= 2 – i.

Or 2 – i est l’affixe de A. Donc A est le milieu de [A’A’’].

 

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés