Forme algébrique du conjugué
Lorsqu’on commence à utiliser les nombres complexes sous leur forme algébrique pour faire des opérations, on s’aperçoit bien vite que l’on recourt souvent à une astuce de calcul, celle des quantités conjuguées.
Le conjugué
Ainsi, le conjugué d’un complexe \(z,\) qui se note avec une barre au-dessus et se prononce « z barre », a la même partie réelle que \(z\) mais sa partie imaginaire est l’opposée de celle de \(z.\) Ainsi, avec \(x\) et \(y\) réels, si \(z = x + iy,\) alors \(\overline z = x - iy\)
Par conséquent : \(z + \overline{z} = 2 Re(z)\) et \(z - \overline{z} = 2i Im(z)\)
Dit autrement, un nombre complexe est un réel si, et seulement si, il est égal à son conjugué. C'est assez évident.
Les exemples les plus simples ne nécessitent aucune opération : le conjugué de 3 est 3, le conjugué de \(i\) est \(-i\)…
Opérations sur conjugués
Soit deux nombres complexes \(z\) et \(z'\) et un entier \(n.\)
Il s’ensuit que \(z\overline{z} = x^2 + y^2\)
Par exemple, \((3 + 2i)(3 - 2i)\) \(=\) \(9 + 6i - 6i + 4\) \(=\) \(9 + 4\) \(=\) \(13.\) Dans la pratique, cette propriété est très souvent utilisée, notamment pour transformer une forme fractionnaire dont le dénominateur comporte une partie imaginaire par une autre ayant pour dénominateur un réel.
Enfin, mentionnons l’égalité suivante (un complexe est égal au conjugué de son conjugué, ce qui là aussi est d’une lumineuse évidence) : \(z = \overline{\overline z} \)
Exercices
Exercice 1
Quel est le conjugué de \(z = (6 + 4i)^3\) ?
Exercice 2
Soit \(z = 1 + 8i\) et \(z' = 1 - 8i.\) Déterminer \(zz'.\)
Exercice 3
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(2i\overline{z} + 3z\) \(=\) \(5 - 2i\)
Exercice 4
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(i\overline{z} + z = 0\)
Corrigés
Corrigé 1
Ce type d’exercice est particulièrement simple puisqu’il suffit d’appliquer une formule.
Le conjugué est égal à \((6 - 4i)^3\)
Notez que vous pouvez développer l'expression pour obtenir la forme algébrique : \(-72 - 368i.\) Ce résultat se vérifie rapidement à la calculatrice (voir les conjugués avec calculatrices).
Corrigé 2
Encore un exercice d’une extrême simplicité. On remarque que \(z'\) est le conjugué de \(z.\) Par conséquent, \(zz' = 1^2 + 8^2 = 65\)
Corrigé 3
Pour résoudre une équation contenant un conjugué, il faut commencer par poser \(z = x + iy\) (avec \(x\) et \(y\) réels).
\(2i(x - iy) + 3(x + iy)\) \(=\) \(5 - 2i\)
\(⇔ 2ix + 2y + 3x + 3iy\) \(=\) \(5 – 2i\)
L’étape suivante consiste à poser un système de deux équations à deux inconnues : une équation pour la partie réelle et l’autre pour la partie imaginaire.
Par comparaison des parties réelles et imaginaires :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x + 2y = 5}\\ {2x + 3y = - 2} \end{array}} \right.\)
Utilisons la technique de la combinaison.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {6x + 4y = 10}\\ {6x + 9y = - 6} \end{array}} \right.\)
Soustrayons la seconde à la première.
\(6x + 4y - 6x - 9y\) \(=\) \(10 + 6\)
\(⇔ -5y = 16\)
\(⇔ y = -\frac{16}{5}\)
Remplaçons \(y\) dans la première équation.
\(3x - \frac{32}{5} = 5\)
\(⇔ 3x = \frac{25 + 32}{5}\)
(…)
\(⇔ x = \frac{19}{5}\)
Par conséquent, \(z = 3,8 - 3,2i\)
Corrigé 4
\(i(x - iy) + (x iy) = 0\) avec \(x \in \mathbb{R}\) et \(y \in \mathbb{R}.\)
\(ix + y + x + iy = 0\)
Par comparaison des parties réelles et imaginaires : \(x + y = 0\)
Il existe une infinité de solutions avec \(x\) opposée de \(y.\)
Vérifions-le par exemple avec 2 et -2 (donc \(z = 2 - 2i\) et \(z' = 2 + 2i\)).
\(i(2 + 2i) + (2 - 2i)\) \(=\) \(2i - 2 + 2 - 2i\) \(=\) \(0\)
Note : voir aussi les démonstrations de propriétés des conjugués, les racines d'un polynôme du second degré avec les équations de degré 2 dans \(\mathbb{C}\) ainsi que les fonctions définies dans \(\mathbb{C}\).
