Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le conjugué

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Forme algébrique du conjugué

Lorsqu’on commence à utiliser les nombres complexes sous leur forme algébrique pour faire des opérations, on s’aperçoit bien vite que l’on recourt souvent à une astuce de calcul, celle des quantités conjuguées.

Ainsi, le conjugué d’un complexe z, qui se note avec une barre au-dessus et se prononce « z barre », a la même partie réelle que z mais sa partie imaginaire est l’opposé de celle de z. Ainsi, avec x et y réels…

conjugué

Par conséquent :

parties réelle et imaginaire

Par conséquent, nombre complexe est un réel si et seulement si il est égal à son conjugué. Ce qui est assez évident.

Les exemples les plus simples ne nécessitent aucune opération : le conjugué de 3 est 3, le conjugué de i est -i

Opérations sur conjugués

Soit deux nombres complexes z et z’.

opérations

Il s’ensuit que :

muliplication

Par exemple, (3 + 2i)(3 – 2i) = 9 + 6i – 6+ 4 = 9 + 4 = 13. Dans la pratique, c’est cette propriété qui est très souvent utilisée, notamment pour transformer une fraction dont le dénominateur comporte une partie imaginaire par une fraction ayant pour dénominateur un réel.

Enfin, mentionnons l’égalité suivante (un complexe est égal au conjugué de son conjugué, ce qui là aussi est d’une lumineuse évidence) :

conjugué du conjugué

Exercice 1

Quel est le conjugué de z = (6 + 4i)³ ?

Exercice 2

Soit = 1 + 8i et z’ = 1 – 8i. Déterminer zz’.

Exercice 3

Résoudre dans C l’équation suivante :

ex 3

Exercice 4

Résoudre dans C l’équation suivante :

ex 4

Corrigé 1

Ce type d’exercice est particulièrement simple puisqu’il suffit d’appliquer une formule.

Le conjugué est égal à (6 – 4i

Corrigé 2

Encore un exercice d’une extrême simplicité. On remarque que z’ est le conjugué de z. Par conséquent, zz’ = 1² + 8² = 65

Corrigé 3

Pour résoudre une équation contenant un conjugué, il faut commencer par poser z = x + iy (avec x  et y réels).

2i(x – iy) + 3(x + iy) = 5 – 2i
⇔ 2ix + 2y + 3x + 3iy = 5 – 2i

L’étape suivante consiste à poser un système de deux équations à deux inconnues : une équation pour la partie réelle et l’autre pour la partie imaginaire.

Par comparaison des parties réelles et imaginaires :

système

Utilisons la technique de la combinaison.

système

Soustrayons la seconde à la première.

6x + 4y – 6x – 9y = 10 + 6
⇔ -5y = 16
y = -16 / 5

Remplaçons y dans la première équation.

3– 32 / 5 = 5
⇔ 3x = (25 + 32) / 5
(…)
⇔ x = 19 / 5

Par conséquent, = 3,8 – 3,2i

Corrigé 4

i(x – iy) + (xiy) = 0 avec x ∈ R et y ∈ R.

ix + y + x + iy = 0

Par comparaison des parties réelles et imaginaires : x + y = 0

Il existe une infinité de solutions avec x opposée de y.

Vérifions-le par exemple avec 2 et -2 (donc z = 2 – 2i et z’ = 2 + 2i).

i(2 + 2i) + (2 – 2i) = 2i – 2 + 2 – 2i = 0

Note : voir aussi les racines d'un polynôme du second degré en page équations de degré 2 dans C.

 

 

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