Module d'un complexe : opérations et démonstration
Vous avez entendu parler du module d’un nombre complexe et vous souhaitez creuser l’affaire : démonstration, opérations simples, utilisation d’une calculatrice… Ne cherchez plus, vous êtes bien au bon endroit.
Module d’un produit
Soit \(|z|\) le module du nombre complexe \(z\) et \(|z’|\) celui du complexe \(z’.\)
Démontrons que \(|zz’| = |z| × |z’|.\) Pour cela, nous nous servirons des propriétés des conjugués.
Nous savons que \(|z|^2 = z \overline{z}\) (démontré en page de forme polaire des complexes).
Ainsi \(|zz’| = \sqrt{zz’ \times \overline{zz’}}\)
Nous savons aussi que \(\overline{zz’} = \overline{z} × \overline{z’}\) (voir les opérations sur conjugués).
Donc \(\sqrt{zz’ \times \overline{zz’}} = \sqrt{z.z.\overline{z}.\overline{z'}}\)
On peut aussi écrire : \(|zz’| = \sqrt{z \overline{z} \times z' \overline{z'}}\)
Comme \( z \overline{z}\) et \( z’ \overline{z’}\) sont positifs, on utilise une propriété des racines carrées :
\(|zz’| = \sqrt{z \overline{z}} × \sqrt{z’ \overline{z’}}\)
\(⇔ |zz’| = |z| × |z’|\)
Exemple
Soit \(z = (3 - i)(2 + 2i).\) Calculons son module.
On peut développer l’expression puis calculer le module ou déterminer deux modules dont le produit sera \(|z|.\) Comme nous illustrons le fait qu’un module d’un produit est le produit des modules, optons pour cette seconde option.
\(|3 - i| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}\)
\(|2 + 2i| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8}\)
Donc \(|z| = \sqrt{10} × \sqrt{8} = 4 \sqrt{5}\)
Stabilité de \(\mathbb{U}\) par produit
L’ensemble \(\mathbb{U}\) est celui des complexes de module 1. On peut le repésenter par le cercle trigonométrique sur le plan complexe.
Soit \(|z|\) et \(|z’|\) deux complexes de \(\mathbb{U}\) alors \(|z| × |z’| = 1\) et, un produit de modules étant égal au module du produit, nous avons aussi \(|zz’| = 1.\)
Module d’un inverse
Le module de l’inverse est égal à l’inverse du module.
\(|\frac{1}{z}| = \frac{1}{|z|}\)
On en déduit la stabilité de \(\mathbb{U}\) par passage à l’inverse.
Exemple
Soit \(z = \frac{1}{4 + 3i}.\) Calculons son module.
\(|4 + 3i| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\)
Donc \(|z| = \frac{1}{5}\)
Calculatrices
Les calculatrices habituellement utilisées au lycée comportent une fonctionnalité de calcul de module.
TI-83 Premium CE
Touche math puis choix CMPLX. Ensuite, choix 5 : abs(
Remarquez que pour cette opération, la calculatrice est restée en mode Réel.
En validant, on découvre les barres de la valeur absolue. Entrons la valeur de \(z\) de l’exemple précédent.
Rappelons que \(i\) s’obtient avec les touches 2nde puis le point décimal.
Casio GRAPH 90+ E
Choix MATH (F4) puis Abs (F3).
Numworks
Touche « boîte à outils » puis choix 1 :
Là encore, les barres de la valeur absolue apparaissent pour accueillir l’expression du complexe.
