La forme exponentielle des complexes

Forme exponentielle des complexes et formules d'Euler

La forme exponentielle des nombres complexes est étudiée en terminale générale (maths expertes) après la double découverte de leur forme trigonométrique et de la fonction exponentielle. Le sujet est donc particulièrement synthétique. Et de plus très utile car si la notation algébrique est pratique pour additionner ou soustraire des nombres complexes, la forme exponentielle prend l'avantage pour d'autres opérations (produits, quotients, puissances).

 

Formules d’Euler

Par définition nous avons l’égalité suivante, où \(θ\) est un réel : \(e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta\)

Cette égalité permet d’en déduire d’autres. Par exemple, à quoi est égal \(e^{- i \theta}\) ?

\(e^{-i \theta} = \cos (-\theta) + i \sin(-\theta).\) Jusqu'ici, c'est facile. Transformons ensuite l'égalité en utilisant les propriétés des sinus et cosinus. Donc \(e^{-i \theta} = \cos \theta - i \sin \theta.\)

Si l’on combine cette égalité avec la première, on en déduit que \(e^{-i\theta} + e^{i \theta} = 2 \cos \theta\) et que \(e^{i\theta} - e^{-i \theta} = 2 i\sin \theta.\)

Ou encore…

\(\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i \theta}}{2}\) et \(\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i \theta}}{2i}\)

Lorsque \(θ = π,\) on obtient l’identité d’Euler qui la plus belle formule de toutes les mathématiques, réunissant les cinq nombres les plus remarquables : \(e^{i\pi} + 1 = 0\)

Dans le même ordre d'idée, on a aussi \(e^{2iπ} = 1.\) Et la formule d’Euler permet de simplifier  la notation trigonométrique en une notation exponentielle, ramassée et percutante comme un slogan publicitaire. Tout nombre complexe non nul \(z\) peut s'écrire ainsi (\(r\) étant le module et \(θ\) un argument) : \(z = re^{i\theta}\)

Oui, ça fait beaucoup de formules. Mais la forme exponentielle est vraiment à connaître !

Par ailleurs, on déduit de notre égalité de départ que \(\arg(e^{iθ}) = θ (2π)\) et que le module de \(e^{iθ}\) est égal à 1.

 

Propriétés

Pour tous les réels \(r,\) \(r’,\) \(θ\) et \(θ’\) (\(r'\) non nul dans la troisième formule)...

\[re^{i \theta} \times r'e^{i\theta '} = rr'e^{i(\theta + \theta ')}\]

\[\frac{1}{e^{i \theta}} = e^{-i \theta}\]

\[\frac{re^{i \theta}}{r'e^{i\theta '}} = \frac{re^{i(\theta - \theta ')}}{r'}\]

Ces égalités permettent d'ailleurs de démontrer les formules d'addition et de duplication.

 

Illustration

Comment déterminer la forme exponentielle à partir d'une notation algébrique ? Prenons un exemple pour l'illustrer. Il s'agit d'un exercice extrait de l'épreuve du bac STI de 2004 (GC, GEN, GM), Nouvelle-Calédonie.

    On note \(i\) le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\frac{π}{2}.\) [...] On appelle \(b\) le nombre complexe suivant :
    \[b = \sqrt{2} + i \sqrt{2}\]
    Écrire \(b\) [...] sous la forme \(re^{iθ},\) où \(r\) est un nombre complexe positif et \(θ\) un nombre réel.

Pour déterminer la forme exponentielle, on commence toujours par chercher le module. Soit un nombre complexe \(z = x + iy\) (avec \(x\) et \(y\) réels), alors le module \(|z|\) est égal à :

\[|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\]

Ici, nous obtenons...

\[|b| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}\]

Et \(|b|\) n'est autre que le \(r\) de la formule.

Connaissant à présent \(|b|,\) on peut écrire \(b\) ainsi : \(\sqrt{2} + i \sqrt{2} = 2e^{i \theta}\)

Faisons le lien avec la forme trigonométrique. Il apparaît que :

\[\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \theta\]

C'est en \(\frac{\pi}{4}\) (modulo \(2π\)) que sinus et cosinus sont égaux (voir la page trigonométrie). Donc :

\[b = 2e^{\frac{i\pi}{4}}\]

Voir aussi l'exercice de révision avec fonctions définies dans \(\mathbb{C}\).