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(et fondements mathématiques)

La forme exponentielle des complexes

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Forme exponentielle des complexes et formules d'Euler

La forme exponentielle des nombres complexes est étudiée en terminale S, après la double découverte de leur forme trigonométrique et de la fonction exponentielle. Le sujet est donc particulièrement synthétique. Et de plus très utile car si la notation algébrique est pratique pour additionner ou soustraire des nombres complexes, la forme exponentielle prend l'avantage pour d'autres opérations (produits, quotients, puissances).

Formules d’Euler

Par définition nous avons l’égalité suivante, où θ est un réel :

formule d'Euler

Cette égalité permet d’en déduire d’autres. Par exemple, à quoi est égal e-iθ ?

e-iθ = cos(-θ) + i sin(-θ). Là, c'est facile. Mais transformons-la en utilisant les propriétés des sinus et cosinus : e-iθ = cos θ – i sin θ

Si l’on combine cette égalité avec la première, on en déduit que e-iθ + e = 2cos θ et que e –e-iθ = 2i sin θ.

Ou encore…

formules d'Euler

Lorsque θ = π, on obtient l’identité d’Euler qui la plus belle formule de toutes les mathématiques, réunissant les cinq nombres les plus remarquables :

identité d'Euler

Dans le même ordre d'idée, on a aussi e2iπ = 1. Et la formule d’Euler permet de simplifier  la notation trigonométrique en une notation exponentielle, ramassée et percutante comme un slogan publicitaire. Tout nombre complexe non nul z peut s'écrire ainsi (r étant le module et θ un argument) :

z=reitheta

Oui, ça fait beaucoup de formules. Mais la forme exponentielle est vraiment à connaître !

Par ailleurs, on déduit de notre égalité de départ que arg(e) = θ (2π) et que le module de eest égal à 1.

Propriétés

Pour tous les réels r, r’, θ et θ’ (r' non nul dans la troisième)...

multiplication

inverse

quotient

Ces égalités permettent d'ailleurs de démontrer les formules d'addition et de duplication.

Illustration

Comment déterminer la forme exponentielle à partir d'une notation algébrique ? Prenons un exemple pour l'illustrer. Il s'agit d'un exercice extrait de l'épreuve du bac STI de 2004 (GC, GEN, GM), Nouvelle-Calédonie.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument π / 2. [...] On appelle b le nombre complexe suivant :

complexe b

Écrire b [...] sous la forme re, où r est un nombre complexe positif et θ un nombre réel.

Pour déterminer la forme exponentielle, on commence toujours par chercher le module. Soit un nombre complexe z = x + iy (x et y réels), alors le module |z| est égal à :

|z| = racine de (x² + y²)

Ici, nous obtenons...

module

Et |b| n'est autre que le r de la formule.

Connaissant à présent |b|, on peut écrire b ainsi :

étape intermédiaire

Faisons le lien avec la forme trigonométrique. Il apparaît que :

résultat

C'est en π / 4 (modulo 2π) que sinus et cosinus sont égaux (voir la page trigonométrie). Donc, b = 2 eiπ/4.

Voir aussi l'exercice de révision de la page fonctions définies dans C.

 

 

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