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(et fondements mathématiques)

La forme exponentielle des complexes

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Forme exponentielle des complexes et formules d'Euler

La forme exponentielle des nombres complexes est étudiée en terminale S, après la double découverte de leur forme trigonométrique et de la fonction exponentielle. Le sujet est donc particulièrement synthétique. Et de plus très utile car si la notation algébrique est très pratique pour additionner ou soustraire des nombres complexes, la forme exponentielle prend l'avantage lorsqu'on s'avance dans des opérations un peu plus compliquées.

Formules d’Euler

Sans démonstration, posons l’égalité suivante, où θ est un réel :

formule d'Euler

Cette formule permet d’en déduire d’autres. Par exemple, à quoi est égal e-iθ ?

e-iθ = cos(-θ) + i sin(-θ). Là, c'est facile. Mais transformons-la en utilisant les propriétés des sinus et cosinus :

e-iθ = cos θ – i sin θ

Si l’on combine cette égalité avec la première, on en déduit que e-iθ + e = 2cos θ et que e –e-iθ = 2i sin θ.

Ou encore…

formules d'Euler

Lorsque θ = π, on obtient l’identité d’Euler qui la plus belle formule de toutes les mathématiques, réunissant les cinq nombres les plus remarquables :

identité d'Euler

Dans le même ordre d'idée, on a aussi e2iπ = 1. Et la formule d’Euler permet de simplifier  la notation trigonométrique en une notation exponentielle, ramassée et percutante comme un slogan publicitaire. Tout nombre complexe z peut s'écrire ainsi :

z=reitheta

Oui, ça fait beaucoup de formules. Mais la forme exponentielle est vraiment à connaître !

Par ailleurs, on déduit de notre première égalité que arg(e) = θ (2π)

Propriétés

Pour tous les réels r, r’, θ et θ’

multiplication

inverse

quotient

Ces égalités permettent d'ailleurs de démontrer les formules d'addition et de duplication.

Illustration

Comment déterminer la forme exponentielle à partir d'une notation algébrique ? Prenons un exemple pour l'illustrer. Il s'agit d'un exercice extrait de l'épreuve du bac STI de 2004 (GC, GEN, GM), Nouvelle-Calédonie.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument π / 2. [...] On appelle b le nombre complexe suivant :

complexe b

Écrire b [...] sous la forme re, où r est un nombre complexe positif et θ un nombre réel.

Nous cherchons donc la notation exponentielle. Quel est le module du nombre b ? Remontons un peu plus haut pour trouver l'équation du module applicable à la forme algébrique du complexe. Ici, nous obtenons...

module

Connaissant à présent |b|, on peut écrire b ainsi :

étape intermédiaire

Faisons le lien avec la forme trigonométrique. Il apparaît que :

résultat

C'est en π / 4 (modulo 2π) que sinus et cosinus sont égaux (voir la page trigonométrie). Donc, b = 2 eiπ/4.

 

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés