Exercices sur l'expression des complexes
Vous venez d’entrer dans l’univers des nombres complexes et vous cherchez des exercices simples, histoire de faire quelques gammes avant de découvrir des outils plus perfectionnés. Vous êtes sur la bonne page.
Les exercices qui suivent consistent à réécrire des nombres complexes sous leur forme algébrique, soit \(z = x + iy.\) Par exemple, si \(z = 1,\) alors on peut écrire \(z = 1 + i0.\) Bon, ce ne sera pas toujours aussi immédiat mais du moment que vous gardez à l’esprit que \(i^2 = -1,\) cet entraînement ne pose pas de difficulté. En fin de page, vous êtes invité à vérifier vos résultats avec la calculatrice.
Exercices
Écrire les complexes suivants sous leur forme algébrique.
1- Pour nous échauffer, commençons par \(z = (i + 1)^2\)
2- Suivant : \(z = (2 + i \sqrt{2})^2\)
3- \(z = \frac{1}{i}\)
4- \(z = \frac{3 + 2i}{2 + i}\)
5- \(z = \frac{2 + i \sqrt{5}}{1 + i}\)
6- Refaire l’exercice 4 avec la calculatrice.
7- Seulement si vous avez déjà étudié de binôme de Newton : \(z = (3 + 2i)^3\) (cet exercice ne concerne donc pas la première STI2D).
Corrigé
1- \(z = (i + 1)^2\)
Simple développement d’une identité remarquable.
\(z = i^2 + 2i + 1^2\)
\(⇔ z = -1 + 2i + 1\)
\(⇔ z = 0 + 2i\)
C’est d'ailleurs une équivalence bien connue. De même, \((i - 1)^2 = 0 + i(-2)\)
2- \(z = (2 + i \sqrt{2})^2\)
\(\Leftrightarrow z = 4 + 4i \sqrt{2} + i^2 \times 2\)
\(\Leftrightarrow z = 2 + i4 \sqrt{2}\)
3- \(z = \frac{1}{i}\) donc \(z = -i.\) Il suffit pour s’en convaincre de multiplier numérateur et dénominateur par \(–i.\)
4- \(z = \frac{3 + 2i}{2 + i}\)
Lorsqu’on est en présence d’un dénominateur ayant cette configuration, il faut penser au conjugué.
\(z = \frac{(3 + 2i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)}\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{6 - 3i + 4i - 2i^2}{4 - i^2}\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{8 + i}{5}\)
La forme algébrique de \(z\) est \(z = \frac{8}{5} +\frac{1}{5} i\)
5- \(z = \frac{2 + i \sqrt{5}}{1 + i}.\) Même technique.
\(z = \frac{(2 + i \sqrt{5})(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{2 - i2 + i \sqrt{5} + \sqrt{5}}{1 + 1}\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{2 + \sqrt{5}}{2} + i \frac{\sqrt{5} - 2}{2}\)
6- Utilisons la TI-83 premium CE pour réécrire un complexe. Pour commencer, il faut opter pour le mode a+bi (touche mode, choix a+bi, entrer).
Sortir ensuite de cet écran puis entrer l’expression de \(z\) telle qu’elle existe dans l’énoncé. L'imaginaire \(i\) s'obtient avec la touche du point décimal (après touche 2nde).
Si vous préférez une écriture fractionnaire, elle est bien sûr disponible (écran math, choix 1:Frac, entrer deux fois).
Sur notre belle lancée, nous pouvons aussi reprendre l’exercice 5 :
7- \(z = (3 + 2i)^3.\) Rappel de la formule du binôme : \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
k
\end{array}} \right){a^k}\;{b^{n - k}}} .\)
Ici, \(n = 3,\) \(a = 3\) et \(b = 2i.\) Les coefficients binomiaux sont respectivement 1, 3, 3 et 1. Enfin, rappelons que \(i^3 = -i.\)
\(z\) \(=\) \(1 \times 3^3 \times (2i)^0 + 3 \times 3^2 \times (2i)^1 + 3 \times 3^1 \times (2i)^2 + 1 \times 3^0 \times (2i)^3\)
\(\Leftrightarrow z = 27 + 54i - 36 - 8i\)
\(\Leftrightarrow z = -9 + 46i\)
