Formules de Moivre : démonstration et exercice
Mathématicien français, Abraham de Moivre, né en 1667, exilé en Angleterre après la révocation de l’Édit de Nantes, ami de Newton, a laissé à la postérité des travaux de première importance notamment en calcul des probabilités (théorème de Moivre-Laplace, théorème central-limite…). Il est aussi célèbre pour la formule qui porte son nom et qui fait l’objet de cette page.
La formule de Moivre permet, avec celle d’Euler, de linéariser l’expression trigonométrique d’un nombre complexe. Vous avez hâte d'en savoir plus ? Vous avez raison.
Elle enseignée en terminale maths expertes. Ci-dessous, vous trouverez un exemple et un exercice de linéarisation. Ceci après les politesses d’usage, c’est-à-dire une présentation et une démonstration.
Les formules de Moivre
\(\theta\) est un réel et \(n\) un entier relatif.
\((e^{i θ})^n\) \(=\) \(e^{inθ}\)
Cela semble être tout simplement une propriété des puissances mais, \(i\) étant un nombre un peu spécial, nous allons le démontrer un peu plus loin.
Toujours est-il que nous déduisons de cette formule les suivantes (voir les réécritures des complexes) :
\((\cos θ + i\sin θ)^n\) \(=\) \(\cos nθ + i\sin nθ\)
Et donc \((\cos θ - i\sin θ)^n\) \(=\) \(\cos nθ - i\sin nθ\)
Démonstration
Démonstration par récurrence. La propriété à démontrer est \(P(n),\) soit \((e^{i θ})^n\) \(=\) \(e^{inθ}\)
Initialisation : pour \(n = 0\) nous avons \(P(0)\) \(=\) \((e^{i θ})^0\) \(=\) \(1\) \(=\) \(e^{iθ × 0}\)
Donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité : supposons que \(P(n)\) est vraie pour un entier naturel \(n\) fixé.
\((e^{i θ})^{n+1} = (e^{i θ})^{n} × e^{i θ}\)
Or, d’après la relation fonctionnelle \(e^{i(\theta - \theta ')} = e^{i \theta} \times e^{i \theta '}\) on peut écrire :
\((e^{i θ})^{n} × e^{i θ} = e^{inθ + i θ}\)
\(⇔ (e^{i θ})^{n} × e^{i θ} = e^{i(n+1)θ}\)
Donc \(P(n+1)\) est vraie.
Ainsi, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n.\)
Exemple
Pour tout \(θ ∈ \mathbb{R},\) linéarisons \(\sin^3 θ.\)
On commence par rappeler une formule d’Euler :
\(\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i \theta}}{2i}\)
Donc, élevée à la puissance trois…
\(\sin^3 \theta = \left(\frac{e^{i\theta} - e^{-i \theta}}{2i}\right)^3\)
\(⇔ \sin^3 \theta = \frac{(e^{i\theta} - e^{-i \theta})^3}{(2i)^3}\)
\(⇔ \sin^3 \theta = -\frac{1}{8i}( e^{i \theta} - e^{-i \theta})^3\)
Développons à l’aide du binôme de Newton.
\(-\frac{1}{8i} \left[(e^{iθ})^3 - 3(e^{iθ})^2 × e^{-iθ} + 3(e^{iθ}) × (e^{-iθ})^2 - (e^{-iθ})^3\right]\)
Cette expression peut être simplifiée grâce à la formule de Moivre.
\(-\frac{1}{8i} [e^{i3θ} - 3 e^{iθ} + 3 e^{-iθ} - e^{-i3θ}]\)
\(= -\frac{1}{8i} [e^{i3θ} - e^{-i3θ} + 3(e^{-iθ} - e^{iθ})]\)
À présent, revenons à la formule d’Euler.
\(= -\frac{1}{8i} (2i \sin 3 θ - 3 × 2i \sin θ )\)
\(= -\frac{1}{4}(\sin 3 θ - 3 \sin θ )\)
\(= \frac{1}{4} (3 \sin θ - \sin 3 θ)\)
Vous remarquerez que l'expression de l'énoncé était réelle. L'expression obtenue est donc elle aussi réelle.
Exercice corrigé
Énoncé : linéariser \(\cos^3x \sin^4 x.\)
Corrigé
Nous allons linéariser séparément les deux facteurs puis multiplier tous leurs termes membre à membre.
Premièrement, \(\cos^3x = \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow \cos^3x\) \(=\) \(\frac{1}{2^3} [(e^{ix})^3 + 3(e^{ix})^2e^{-ix} + 3e^{ix}(e^{-ix})^2 + (e^{-ix})^3]\)
\(\Leftrightarrow \cos^3x\) \(=\) \(\frac{1}{8}(e^{i3x} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + {-3ix})\)
Deuxièmement, \(\sin^4x\) \(=\) \(\left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^4\)
\(\Leftrightarrow \sin^4x\) \(=\) \(\frac{1}{2i^4}\) \((e^{ix})^4\) \(-\) \(4(e^{ix})^3e^{ix}\) \(+\) \(6e^{ix}(e^{-ix})^2\) \(-\) \(4e^{ix}(e^{-ix})^3\) \(+\) \((e^{-ix})^4]\) par application du binôme.
\(\Leftrightarrow \sin^4x\) \(=\) \(\frac{1}{16}(e^{i4x} - 4e^{i2x} + 6 - 4e^{-i2x} + e^{-i4x})\) par application du théorème de Moivre.
Enfin, réunissons ces deux facteurs. L'un a quatre termes et l'autre cinq, ce qui nous en fera vingt ! Attention aux erreurs de calcul. Nous vous conseillons d'écrire le développement de façon très structurée, comme ci-dessous, pour une relecture matricielle aisée.
\(\frac{1}{128}(e^{i3x}e^{i4x} - 4e^{i3x}e^{i2x} + 6e^{i3x} - 4e^{i3x}e^{-i2x} + e^{i3x}e^{-i4x}\)
\(+ 3e^{ix}e^{i4x} - 12e^{ix}e^{i2x} + 18e^{ix} - 12e^{ix}e^{-i2x} + 3e^{ix}e^{-i4x}\)
\(+ 3e^{-ix}e^{i4x} - 12 e^{-ix}e^{i2x} + 18e^{-ix} - 12e^{-ix}e^{-i2x} + 3e^{-ix}e^{-i4x}\)
\(+ e^{-i3x}e^{i4x} - 4e^{-i3x}e^{i2x} + 6e^{-i3x} - 4e^{-i3x}e^{-i2x} + e^{-i3x}e^{-i4x})\)
Simplifions.
\(\frac{1}{128} (e^{i7x} - 4e^{i5x} + 6e^{i3x} - 4e^{ix} + e^{-ix}\)
\(+ 3e^{i5x} - 12e^{i3x} + 18e^{ix} - 12e^{-ix} + 3e^{-i3x}\)
\(+ 3e^{i3x} - 12e^{ix} + 18e^{-ix} - 12e^{-i3x} + 3e^{-i5x}\)
\(+ e^{ix} - 4e^{-ix} + 6e^{-i3x} - 4e^{-i5x} + e^{-i7x})\)
\(= \frac{1}{128}\)\((e^{i7x}\) \(-\) \(e^{-i7x}\) \(-\) \(e^{i5x}\) \(-\) \(e^{-i5x}\) \(-\) \(3e^{i3x}\) \(-\) \(3e^{-i3x}\) \(+\) \(3e^{ix}\) \(+\) \(3e^{-ix})\)
\(= \frac{1}{128}\)\([e^{i7x} + e^{-i7x}\) \(-\) \((e^{i5x} + e^{-i5x})\) \(-\) \(3(e^{i3x} + e^{i3x})\) \(+\) \(3(e^{ix} + e^{-ix})]\)
Et avec Euler nous pouvons écrire...
\(= \frac{1}{128}(2\cos 7x - 2\cos 5x - 6\cos 3x + 6\cos x)\)
\(=\frac{1}{64}(\cos 7x - \cos 5x - 3 \cos 3x + 3 \cos x)\)
