Opérations avec complexes sous forme algébrique
Si vous découvrez les nombres complexes sous leur forme algébrique, vous mourrez certainement d’envie de les manipuler. Bonne nouvelle, vous trouverez ici non pas le mode d’emploi (restons modestes) mais le guide de démarrage…
Somme
L’addition ne pose pas de difficulté insurmontable. Soit deux complexes \(z = x + iy\) et \(z’ = x’ + iy’\) (avec \(x \in \mathbb{R}\) et \(y \in \mathbb{R}\)). Leur somme \(z + z’\) est tout simplement égale à \(x + x’ + i(y + y’).\)
À titre d’exemple, si \(z = 1 + 3i\) et si \(z’ = 2 - 5i,\) alors \(z + z’ = 3 - 2i.\)
Multiplication par un réel
Là encore, la facilité règne. Soit \(a\) un réel. Alors \(az = ax + aiy\)
Quant à l’opposé de \(z,\) il est égal à \(-z = -x - iy\) puisque \(a = -1.\)
Multiplication de complexes
La multiplication utilise les mêmes règles de calcul que dans \(\mathbb{R}\) : \(zz’\) \(=\) \((xx’ - yy’) + i(xy’ + x’y).\) La formule semble compliquée mais c’est juste le résultat d’une double distributivité. Toujours avec le même exemple. Rappelons que \(i^2 = -1.\)
\(zz' = (1 + 3i)(2 - 5i)\)
\(\Leftrightarrow zz' = 2 + 6i - 5i - 15i^2\)
\(\Leftrightarrow zz' = 2 + i + 15\)
\(\Leftrightarrow zz' = 17 + i\)
Cette règle permet d’appliquer aux complexes l’identité remarquable suivante :
\((x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2\)
D’ailleurs, les identités remarquables valables dans \(\mathbb{R}\) le sont dans \(\mathbb{C}\) :
\((z + z’)^2 = z^2 + 2zz’ + z’^2\)
\((z - z’)^2 = z^2 - 2zz’ + z’^2\)
\(z^2 - z’^2 = (z + z’)(z - z’)\)
Exemple : \((3 - 2i)^2\) \(=\) \(9 - 12i - 4\) \(=\) \(5 - 12i.\)
Nous pouvons en déduire que \(z^2 + z’^2\) \(=\) \((z + iz’)(z - iz’)\)
Remarquons enfin que si \(zz’\) est nul, c’est que \(z\) ou \(z’\) est nul. Classique.
Quotient de complexes
Tout complexe non nul admet un inverse. La propriété à connaître est la suivante :
\(\frac{1}{z}\) \(=\) \(\frac{x}{x^2 + y^2} + i\frac{-y}{x^2 + y^2}\)
Là encore, la formule semble difficile à mémoriser mais elle est très simple à retrouver en utilisant le conjugué :
\(\frac{1}{x + iy}\) \(=\) \(\frac{x - iy}{(x + iy)(x - iy)}\) \(=\) \(\frac{x - iy}{x^2 + y^2}\)
On peut passer par elle pour calculer un quotient de complexes. Ainsi, pour tout \(z’ \ne 0\) :
\(\frac{z}{z'} = z \times \frac{1}{z'}\)
\(\Leftrightarrow \frac{z}{z'} = (x + iy) \times \frac{x' - iy'}{x'^2 + y'^2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{z}{z'} = \frac{xx' - ixy' + ix'y + yy'}{x'^2 + y'^2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{z}{z'} = \frac{xx' - yy'}{x'^2 + y'^2} + i \frac{x'y - xy'}{x'^2 + y'^2}\)
Montrons-le d’une autre façon car il est plus pratique de retrouver cette formule que de l’apprendre par cœur. Le quotient peut s’écrire ainsi :
\(\frac{x + iy}{x' + iy'}\) \(=\) \(\frac{(x + iy)(x' - iy')}{(x' + iy')(x' - iy')}\) \(=\) \(\frac{xx' - ixy' + ix'y + yy'}{x'^2 + y'^2}\) \(=\) \(\frac{xx' + yy' + i(-xy' + x'y)}{x'^2 + y'^2}\)
… ce qui permet de trouver l’expression présentée auparavant.
Propriétés
Commutativité : \(z + z' = z' + z\)
Associativité : \((z + z') + z''\) \(=\) \(z +(z' + z'')\) \(=\) \( z' + z''\) et \((zz') \times z''\) \(=\) \(z(z'z'')\) \(=\) \(zz'z''\)
Éléments neutres \(z + 0 = z\) et \(z \times 1 = z\)
Distributivité: \(z(z' + z'') = zz' + zz''\)
Exercice
Soit \(z = 1 - 3i\) et \(z’ = -2 + 5i\)
Écrire les complexes suivants sous leur forme algébrique : \(z + z’,\) \(zz’\) et \(\frac{z}{z’}.\)
Somme :
\(z + z’\) \(=\) \(1 - 3i - 2 + 5i\) \(=\) \(-1 + 2i\)
Produit :
\(zz’\) \(=\) \((1 - 3i)(-2 + 5i)\) \(=\) \(-2 + 5i + 6i + 15\) \(=\) \(13 + 11i\)
Quotient :
\(\frac{1 - 3i}{-2 + 5i}\) \(=\) \(\frac{(1 - 3i)(-2 - 5i)}{(-2 + 5i)(-2 - 5i)}\) \(=\) \(\frac{-2 - 5i + 6i - 15}{4 + 25}\) \(=\) \(-\frac{17}{29} + \frac{1}{29}i\)
Réalisons cette dernière opération avec une calculatrice TI-83 Premium CE.
Optez préalablement pour le mode complexe : touche mode puis, à la huitième ligne, choix a+bi. Touche 2nde puis touche mode pour quitter la fenêtre.
Pour les étapes suivantes, i est obtenu avec la touche 2nde puis la touche décimale, tout en bas au centre de la calculatrice.
Utilisez des parenthèses lorsque vous entrez (1 - 3i)/(-2 + 5i). Après validation, vous pouvez afficher le résultat sous forme fractionnaire (touche math, choix 1).
Pour réécrire une expression d'une forme algébrique avec d'autres calculatrices (Casio et NumWorks), voir les conjugués avec calculatrices.
