Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La réécriture de complexes sous forme trigonométrique

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Détermination du module et de l'argument

Vous êtes en présence d’un nombre complexe, exprimé sous sa forme algébrique, et l’envie vous prend de déterminer son module et son argument (par exemple pour procéder à un produit ou à un quotient, la forme trigonométrique étant plus adaptée à ces opérations que l’algébrique). Comment faire ? Cette page vous fournit un mode d’emploi puis quelques exercices simples.

La technique

Sous sa forme algébrique, un nombre complexe se présente ainsi : z = x + iy, avec  = -1.

Sous sa forme trigonométrique, il ressemble à ceci : z = |z| (cos θ + i sin θ), qui s’écrit aussi z = r(cos θ + i sin θ).

Le module est |z| (ou r) et l’argument est θ.

Pour passer de la première écriture à la seconde, il faut d’abord déterminer le module.

module

Cette étape n’offre aucune difficulté. Ensuite, on cherche un argument :

argument

Là, il est appréciable de bien maîtriser la configuration du cercle trigonométrique. Dans les exercices qui suivent, nous chercherons toujours UN argument et non L’argument puisque graphiquement il s’agit d’un angle et que tout angle a une infinité de mesures en radians (une mesure principale et la même majorée de 2, avec k entier relatif).

Exercice 1

Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :  z1 = 2, z2 = -3, z3 = 2i et z4 = -3i.

Exercice 2

Écrire le complexe z = 1 + i sous forme trigonométrique.

Exercice 3

Écrire le nombre complexe suivant sous forme trigonométrique :

-1 + i racine de 3

Exercice 4

Soit le nombre complexe z = 4 – 4i. L’écrire sous une forme trigonométrique.

Corrigé 1

Il n’est même pas nécessaire d’utiliser la formule ; en revanche on peut se représenter mentalement le plan complexe. z1 et z2 sont des réels, donc leurs arguments sont nuls et leurs modules sont leurs valeurs absolues (respectivement 2 et 3). z3 et z4 sont des imaginaires purs. Leurs modules sont respectivement 2 et 3. Comme 2 est positif, un argument de z3 est π / 2 (un quart du cercle trigonométrique à parcourir). Un argument de z4 est -π / 2 (un quart de cercle en sens inverse).

Corrigé 2

z est écrit sous la forme x + iy avec x = 1 et y = 1.

Module :

racine de 2

Recherche d’un argument :

cosinus et sinus

C’est l’une des valeurs à connaître dès la classe de seconde : θ π / 4.

Donc :

z

Corrigé 3

Le module est :

2

Recherche d’un argument :

recherche de l'argument

En cas de défaillance de mémoire, le recours au cercle trigonométrique est salvateur (ici, le cercle est réalisé avec Sinequanon et adapté à notre exercice grâce à Photoshop) :

cercle

Un argument est égal à 2π / 3.

Concluons :

z

Corrigé 4

module

recherche d'argument

Là encore, l’argument est une célébrité trigonométrique : -π / 4.

z

Note : lorsque l’argument ne peut pas être exprimé par un rationnel ou en fonction de π, on se contente d’une valeur approchée.

 

zzzzzzzzz

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés