Exercices avec logarithmes décimaux

logarithme décimal : réécritures et équations

Cette page d’exercices corrigés est notamment destinée aux élèves de terminale technologique. Elle comprend des rappels de cours (si vous êtes allergique aux formules du cours, vous apprendrez les propriétés des logarithmes décimaux avec les corrigés de ces exercices).

 

Réécritures

Calculer à la main les nombres suivants :

  1. \(10^{\log 8,1}\)
  2. \(\log 10^{10} × \log 10^{-5}\)
  3. \(\log 300 - \log 3\)
  4. \(\log 40 + \log 80 - \log 32\)

Simplifier :

\(\log 0,001x + \log 100x\)

Écrire avec un seul logarithme :

\(3 \log a + 2 \log b\)

 

Corrigés

Calculs manuels

1- Lorsqu’un nombre est présenté sous forme de puissance, la fonction \(\log\) et la fonction « 10 puissance… » se neutralisent.

Donc \(10 ^{\log 8,1}\) \(=\) \(\log 10^{8,1}\) \(=\) \(8,1 ^{\log 10}\) \(=\) \(8,1\)

2- \(\log 10^{10} × \log 10^{-5}\) \(=\) \(10 × (-5)\) \(=\) \(-50\)

3- Pour simplifier \(\log 300 - \log 3\) commençons par exprimer cette expression avec un seul logarithme.

Pour cela, appliquons la formule \(\log a - \log b = \log \frac{a}{b}.\)

\(\log 300 - \log 3 = \log \frac{300}{3} = \log 100\)

À présent, nous revenons en terrain connu.

\(\log 100 = \log 10^2 = 2\)

\(\log 40 + \log 80 - \log 32\) \(=\) \(\log \frac{40 \times 80}{32}\) \(=\) \(\log \frac{3200}{32}\) \(=\) \(\log{100}\) \(=\) \(2\)

Simplification

Faisons apparaître les puissances de 10.

\(\log 0,001x + \log 100x\) \(=\) \(\log (x × 10^{-3}) + \log(x × 10^2)\)

En utilisant les propriétés que vous connaissez à présent très bien…

\(= \log x + \log 10^{-3} + \log x + \log 10^2\)
\(= 2 \log x - 3 + 2\)
\(= 2 \log x -1\)

Réécriture

Pour écrire \(3 \log a + 2 \log b\) avec un seul logarithme, il faut d’abord éliminer les coefficients 3 et 2.

Soit \(\log (a × 10^3) + \log(b × 10^2)\)
\(= \log(a × 10^3 × b × 10^2)\)
\(= \log (ab × 10^5)\)

 

Équations

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

  • \(3^x + 1 = 2188\)
  • \(x^5 = 18,89568\)

 

Corrigés

  • \(3^x + 1 = 2188\)
    \(⇔ 3^x = 2187\)

Les logarithmes permettent de résoudre les équations lorsque l’inconnue est en exposant.

\(\log 3^x = \log 2187\)
\(⇔ x \log 3 = \log 2187\)
\(⇔ x = \frac{\log 2187}{\log 3}\)

La calculatrice nous informe que \(x = 7.\)

  • \(x^5=18,89568\)

Cette fois, \(x\) n’est pas en exposant. Nous pouvons bien sûr calculer la racine cinquième de 18,89568 mais cela ne vous entraînerait pas à manipuler les logarithmes.

\(\log x^5 = \log 18,89568\)
\(⇔ 5 \log x = \log 18,89568\)
\(⇔ \log x = \frac{\log 18,89568}{5}\)
\(⇔ x = 10^{\frac{\log 18,89568}{5}}\)

La calculatrice nous donne \(x = 1,8.\)

 

Inéquations

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :

  • \(11^x \leqslant 14641\)
  • \(4^x \geqslant 2048\)

 

Corrigés

  • \(11^x \leqslant 14641\)
    \(⇔ \log 11^x \leqslant \log 14641\)
    \(⇔ x \log 11 \leqslant \log 14641\)
    \(⇔ x \leqslant \frac{\log 14641}{\log 11}\)

Avec la calculatrice : \(x \leqslant 4\)

  • \(4^x \geqslant 2048\)
    \(⇔ \log 4^x  \geqslant \log 2048\)
    \(⇔ x \log 4 \geqslant \log 2048\)
    \(⇔ x \geqslant \frac{\log 2048}{\log 4}\)
    \(⇔ x \geqslant 5,5\)