Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La linéarité des intégrales

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Intégration et linéarité

Les intégrales sont comme les plantes médicinales : pleines de propriétés intéressantes. L’une d’elles, abordée en classe de terminale, est la linéarité. Étudions-en les différentes facettes…

Rappel préalable

Soit deux réels a et b, soit une fonction continue f définie sur l’intervalle [a ; b] et soit F une primitive de f sur cet intervalle. L’intégrale de f entre a et b est égale au réel F(a) – F(b).

intégrale

Linéarité

Ci-dessous, a, b, k et m sont des réels ; f et g sont des fonctions continues définies sur [a ; b] et F et G sont leurs primitives respectives.

En premier lieu, la linéarité implique que :

linéarité

En effet, kF est une primitive de kf pour la bonne raison que :

kf(x)

Seconde formule de linéarité : l’intégrale de la somme est la somme des intégrales.

somme des intégrales

Il est là encore simple d’expliquer pourquoi :

étape 1

Il s’ensuit que :

étape 2

La combinaison de ces deux formules permet de vous en offrir une troisième…

combinaison

Exemple : comment intégrer une fonction homographique ?

Soit la fonction f définie sur ]-0,5 ; +∞[ par :

à intégrer

Calculons ceci :

intégrale

Pour cela, factorisons d’abord l’expression pour que x ait le même coefficient au numérateur et au dénominateur.

factorisation

Ensuite, faisons apparaître la même expression au numérateur qu’au dénominateur.

même expression

En découpant la fraction, nous obtenons…

découpage

Bien sûr, l’étape suivante est celle-ci :

fin de la préparation

Et voilà ! Notre fonction est prête pour le grand saut ! Son intégration !

Sachant qu’une primitive de u’ / u est ln u, il n’est pas trop ardu d’obtenir l’expression suivante (avec un peu d’habitude) :

primitive

Nous pouvons utiliser la propriété de linéarité :

résultat

après réduction

Grâce à la calculatrice, il est possible de déterminer une valeur approchée : environ 2,206.

Exercice (niveau terminale ES)

En utilisant la linéarité, calculez le nombre N :

N

Éléments de correction

corrigé

Nous savons qu’une primitive de est (1 / 3). Donc…

8/3

 

bizut

 

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