Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les proportions

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Pourcentages de répartition

Au lycée, les pourcentages de proportion ne sont plus systématiquement enseignés en filière ES. Sans doute estime-t-on que ces calculs sont suffisamment intuitifs pour éviter d'y passer du temps. De plus, ils sont rapidement abordés en classe de seconde (voir page fonctions linéaires et proportionnalité, la proportionnalité étant une notion vue dès l'école primaire) et l'air de famille est évident avec les probabilités. En revanche, c’est par les proportions que débute l’année scolaire de première STMG. Par un savant parcours intellectuel qui a présidé à la réalisation du programme de maths de cette filière, ce chapitre débouche sur les pourcentages d’évolution, grâce auxquels on passe aux suites qui introduisent à leur tour les fonctions… Bref, tout ce blabla pour vous dire que cette page est surtout destinée aux élèves de première STMG.

Éventuellement, lisez la page fréquences (Cf. classe de seconde) si vous avez oublié ce qu'est une fréquence parce que c'est la même chose qu’un pourcentage de proportion, mais exprimée différemment. Ainsi, une fréquence de 0,12 devient 12 %. Remarquez que 12 « pour » 100 est la même chose que 12 « sur » 100 puisque 12 / 100 = 0,12.

Exemple : écrire sous forme de pourcentage les nombres 0,6, ¼ et 0,0035.

Réponse : 60 %, 25 % et 0,35 %. Cette traduction doit absolument vous être familière parce qu'il est pratique d'utiliser les décimales ou les fractions avec la calculatrice, la conversion en pourcentage se faisant de tête.

Vous m’objecterez qu’il est idiot de différencier deux concepts aussi proches que la fréquence et le pourcentage. Vous n’avez pas complètement tort. En fait, la distinction tient surtout à l’usage que l’on en fait. Pour une utilisation statistique, on parle plutôt de fréquence sur un échantillon. Sinon, on calcule un pourcentage. Lorsque celui-ci a une définition couramment admise, on parle de taux (par exemple un taux d’absentéisme, un taux d’intérêt, etc.). Ça représente dans tous les cas un nombre d’éléments d’une partie d’un ensemble rapporté à (divisé par) l’effectif total de l’ensemble.

Exemple 1 : dans un service d’une grande entreprise, on a compté cette année 210 réunions dont 85 n’ont servi à rien. Quelle est la proportion de réunions inutiles ?

Réponse : 85 / 210 = 40,48 % si l’on arrondit à deux décimales.

Notez qu'il est ici superflu de retenir deux décimales parce que 210 n’est pas un nombre énorme : s’il y avait eu 86 réunions inutiles, soit une seule de plus, alors le pourcentage aurait été de 40,95 % et entre les deux proportions, il y a beaucoup de pourcentages impossibles à obtenir si l’on s’en tient à nos deux décimales (46 impossibilités). En arrondissant à une seule décimale, nos deux pourcentages deviennent 40,5 % et 41,0 % (remarquez au passage les règles d’arrondi, c’est un point très important). Entre les deux, seulement quatre impossibilités. C’est beaucoup mieux. Alors même si, en pratique, il est courant de voir des flopées de chiffres après la virgule, sachez que cette précision n’est souvent qu’une illusion.

Exemple 2 : une scierie produira dans la journée 400 lames de parquet. En raison de défauts du bois, on observe généralement un taux de rebut de 2 %. Statistiquement, combien de lames devraient être mises au rebut dans la journée ?

Réponse : 400 × (2 / 100) = 8 lames devraient être jetées. Bien entendu, l’énoncé suggère qu’il ne s’agit que d’une moyenne (autour de laquelle il existe un intervalle de fluctuation mais c’est une autre histoire)…

Pour donner à ce chapitre un vernis plus mathématique, on peut utiliser les signes d’union (∪) et d’intersection (∩) vus en classe de seconde (pour un rappel, voir la page initiation aux probabilités). L’union représente une somme de proportions et une intersection se traduit par une multiplication (c’est un pourcentage de pourcentage).

L’union de toutes les parties disjointes d’un ensemble est évidemment de 100 %.

Exemple d’union : dans une classe où les élèves n’apprennent qu’une seule langue étrangère, 72 % ont choisi l’anglais, les autres ayant choisi l’allemand. Quelle est la proportion des germanophones ? Résumer cet état avec le langage des ensembles.

Réponse : 100 % – 72 % = 28 %. Soit C l’ensemble des élèves, E le sous-ensemble de ceux qui ont choisi l’english et D ceux qui ont opté pour le deutsch, alors E ∪ D = C.

Exemple d’intersection : lors d’une élection, on relève 66 % de suffrages exprimés. Un candidat est élu avec 52 % des voix. Quel pourcentage d’électeurs a voté pour lui ?

Réponse : 66 % × 52 % = 34,32 %.

Enfin, si l’on cherche à connaître l'union de deux sous-ensembles non disjoints, on ne se contente pas d’additionner ; il faut aussi retirer leur intersection. Ainsi, on a cette formule bien connue (p signifiant « proportion ») : pA∪B = pA + pB – pA∩B

Exemple : dans un ensemble de 45 personnes, il y en a 30 qui pratiquent le jogging et 10 qui pratiquent la natation. 6 pratiquent les deux activités. Quelle est le pourcentage de personnes qui pratiquent au moins une activité ? Arrondir à une décimale.

Réponses : je vous propose deux types de réponses, l’une qui fait appel au seul bon sens et l’autre qui utilise une formulation mathématique.

Si l’on additionne joggers et nageurs, on trouve 40. Ce qui ne veut rien dire puisqu’il y en a 6 qui sont comptabilisés deux fois. Donc il y a 34 personnes sur 45, soit 75,6 %.

Plus formalisé : soit J la sous-population des joggers et N la sous-population des nageurs. pJ = 30 / 45 = 2 / 3, pN = 10 / 45 et pJ∩N = 6 / 45 = 2 / 15.

Donc pJ∪N = pJ + pN – pJ∩N = (30 / 45) + (10 / 45) – (6 / 45) = 34 / 45 = 0,756 = 75,6 %

Autre exemple : lors d’une réception, trois sortes de toasts sont proposées : au foie gras (appréciés par 42 % des convives), au caviar (appréciés par 57 %) et à la moutarde (1 % des invités). À quelle condition chacun trouvera-t-il des toasts qui lui plaisent ?

Réponse : 42 % + 57 % + 1 % = 100 %. Il ne faut pas d'intersection entre les sous-ensembles, donc chaque invité doit n’aimer qu’un seul type de toast.

Exercice (extrait de l’épreuve du bac STT, juin 2005, Antilles-Guyane)

La société Purlain fabrique des costumes noirs et des costumes gris. Sa production mensuelle est de 500 pièces, dont 60 % sont des costumes noirs. La production est malheureusement ponctuée de quelques défauts : 5 % des costumes ont un défaut et 20 % des costumes avec défaut sont gris. Reproduire, puis compléter le tableau suivant :

tableau de l'énoncé

Corrigé détaillé

La production est de 500 × 60 % = 300 costumes noirs (donc 200 gris). Il y a 500 × 5 %, soit 25 costumes défectueux, donc 500 – 25 = 475 sont sans défaut.

Nous avons à présent rempli la ligne et la colonne des TOTAUX du tableau de contingence . Il ne nous manque qu’une information pour remplir l’une des quatre cases du milieu et on en déduira les trois autres. On sait que 20 % des costumes avec défaut sont gris. Donc sur les 25 costumes défectueux, il y en a 25 × 20 % = 5 qui sont gris.

tableau intermédiaire

Il s’ensuit d’une part qu’il reste 20 costumes défectueux forcément noirs et d’autre part que si 5 costumes gris sont défectueux, alors les 195 autres ne le sont pas. Reste à remplir la case en haut à gauche. C’est un jeu d’enfant de trouver 280.

tableau terminé

Ce n'était pas demandé mais ce tableau aurait pu être rempli avec des pourcentages...

tableau de pourcentages

Un exercice de gestion avec calculs de pourcentages sur tableur figure en page détermination d'un coût de revient.

 

hasbeen

 

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