Pourcentages de répartition
Les pourcentages sont enseignés au collège et revus en classe de seconde. L'air de famille est évident avec les probabilités.
C’est aussi par les proportions que débute généralement l’année de première technologique. Par un savant parcours intellectuel qui a présidé à la réalisation du programme de maths de cette filière, ce chapitre débouche sur les pourcentages d’évolution, grâce auxquels on passe aux suites qui introduisent à leur tour les fonctions…
Pourcentages de proportion
Éventuellement, reportez-vous à la page sur les fréquences (que vous connaissez depuis le collège) parce que c'est la même chose qu’un pourcentage de proportion, mais exprimée différemment. Ainsi, une fréquence de 0,12 devient \(12\%.\) Remarquez que 12 « pour » 100 est la même chose que 12 « sur » 100 puisque \(\frac{12}{100} = 0,12.\)
Exemple : écrire sous forme de pourcentage les nombres 0,6, \(\frac{1}{4}\) et 0,0035.
Réponse : \(60\%,\) \(25\%\) et \(0,35\%.\) Cette traduction doit absolument vous être familière parce qu'il est pratique d'utiliser les décimales ou les fractions avec la calculatrice, la conversion en pourcentage se faisant de tête.
Vous objecterez qu’il est idiot de différencier deux concepts aussi proches que la fréquence et le pourcentage. Vous n’avez pas complètement tort. En fait, la distinction tient surtout à l’usage que l’on en fait. Pour une utilisation statistique, on parle plutôt de fréquence sur un échantillon. Sinon, on calcule un pourcentage. Les deux représentent l'effectif d’une partie d’un ensemble rapporté à (divisé par) l’effectif total de cet ensemble. Lorsqu'un pourcentage a une définition couramment admise, on parle de taux (par exemple un taux d’absentéisme) mais attention, certains taux ne se calculent pas sur ce principe (taux de fécondité...).
Exemple 1 : dans un service d’une grande entreprise, on a compté cette année 210 réunions dont 85 n’ont servi à rien. Quelle est la proportion de réunions inutiles ?
Réponse : \(\frac{85}{210} \approx 40,48\%\) si l’on arrondit à deux décimales.
Notez qu'il est ici superflu de retenir deux décimales parce que 210 n’est pas un nombre énorme : s’il y avait eu 86 réunions inutiles, soit une seule de plus, alors le pourcentage aurait été de \(40,95\%\) et entre ces deux proportions, il y a beaucoup de pourcentages impossibles à obtenir si l’on s’en tient à nos deux décimales (46 impossibilités). En arrondissant à une seule décimale, nos deux pourcentages deviennent \(40,5\%\) et \(41,0\%\) (remarquez au passage les règles d’arrondi, c’est un point très important). Entre les deux, seulement quatre impossibilités. C’est beaucoup mieux. Alors même si, en pratique, il est courant de voir des flopées de chiffres après la virgule, sachez que cette précision n’est souvent qu’une illusion.
Exemple 2 : une scierie produira dans la journée 400 lames de parquet. En raison de défauts du bois, on observe généralement un taux de rebut de \(2\%.\) Statistiquement, combien de lames devraient être mises au rebut dans la journée ?
Réponse : \(400 × \frac{2}{100} = 8\) lames devraient être jetées. Bien entendu, l’énoncé suggère qu’il ne s’agit que d’une moyenne (autour de laquelle il existe un intervalle de fluctuation mais c’est une autre histoire)…
Union et intersection
Pour donner à ce chapitre un vernis plus formel, on peut utiliser les symboles d’union \(\cup\) et d’intersection \(\cap\) vus en classe de seconde (pour un rappel, voir la page d'initiation aux probabilités). L’union représente une somme de proportions et une intersection se traduit par une multiplication (c’est un pourcentage de pourcentage).
L’union de toutes les parties disjointes d’un ensemble est évidemment de \(100\%.\)
Exemple d’union : dans une classe où les élèves n’apprennent qu’une seule langue étrangère, \(72\%\) ont choisi l’anglais, les autres ayant choisi l’allemand. Quelle est la proportion des germanophones ? Résumer cet état avec le langage des ensembles.
Réponse : \(100\% - 72\% = 28\%.\) Soit \(C\) l’ensemble des élèves, \(E\) le sous-ensemble de ceux qui ont choisi l’english et \(D\) ceux qui ont opté pour le deutsch, alors \(E \cup D = C.\)
Exemple d’intersection : lors d’une élection, on relève \(66\%\) de suffrages exprimés. Un candidat est élu avec \(52\%\) des voix. Quel pourcentage d’électeurs a voté pour lui ?
Réponse : \(66\% × 52\% = 34,32\%.\)
Enfin, si l’on cherche à connaître l'union de deux sous-ensembles non disjoints, on ne se contente pas d’additionner ; il faut aussi retirer leur intersection. Ainsi, on a cette formule bien connue (\(p\) signifiant « proportion ») : \(p_{A \cup B}\) \(=\) \(p_A + p_B - p_{A \cap B}.\)
Exemple : dans un ensemble de 45 personnes, il y en a 30 qui pratiquent le jogging et 10 qui pratiquent la natation. 6 pratiquent les deux activités. Quelle est le pourcentage de personnes qui pratiquent au moins une activité ? Arrondir à une décimale.
Réponses : vous avez droit à deux réponses, l’une qui fait appel au seul bon sens et l’autre qui utilise une formulation mathématique.
Si l’on additionne joggers et nageurs, on trouve 40. Ce qui ne veut rien dire puisqu’il y en a 6 qui sont comptabilisés deux fois. Donc il y a 34 personnes sur 45, soit \(75,6\%.\)
Plus formalisé : soit \(J\) la sous-population des joggers et \(N\) la sous-population des nageurs. \(p_J = \frac{30}{45} = \frac{2}{3},\) \(p_N = \frac{10}{45}\) et \(p_{J \cap N} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}.\)
Donc \(p_{J \cup N}\) \(=\) \(p_J + p_N - p_{J \cap N}\) \(=\) \(\frac{30}{45} + \frac{10}{45} - \frac{6}{45}\) \(=\) \(\frac{34}{45}\) \(=\) \(0,756\) \(=\) \(75,6\%\)
Autre exemple : lors d’une réception, trois sortes de toasts sont proposées : au foie gras (appréciés par \(42\%\) des convives), au caviar (appréciés par \(57\%\) et à la moutarde (\(1\%\) des invités). À quelle condition chacun trouvera-t-il des toasts qui lui plaisent ?
Réponse : \(42\% + 57\% + 1\%\) \(=\) \(100\%.\) La condition est qu'il ne faut pas d'intersection entre les sous-ensembles, donc chaque invité doit n’aimer qu’un seul type de toast.
Exercices
Exercice 1
(Extrait de l’épreuve du bac STT, juin 2005, Antilles-Guyane)
- La société Purlain fabrique des costumes noirs et des costumes gris. Sa production mensuelle est de 500 pièces, dont \(60\%\) sont des costumes noirs. La production est malheureusement ponctuée de quelques défauts : \(5\%\) des costumes ont un défaut et \(20\%\) des costumes avec défaut sont gris. Reproduire, puis compléter le tableau suivant :
Exercice 2
Plus il y a de gruyère, plus il y a de trous. Plus il y a de trous moins il y a de gruyère. Donc plus il y a de gruyère moins il y a de gruyère.
Pourquoi la troisième phrase signifie-t-elle une stupidité ?
Corrigés détaillés
Corrigé 1
La production est de \(500 × 60\% = 300\) costumes noirs (donc 200 gris). Il y a \(500 × 5\%\) soit 25 costumes défectueux, donc \(500 - 25 = 475\) sont sans défaut.
Nous avons à présent rempli la ligne et la colonne des TOTAUX du tableau de contingence . Il ne nous manque qu’une information pour remplir l’une des quatre cases du milieu et on en déduira les trois autres. On sait que \(20\%\) des costumes avec défaut sont gris. Donc sur les 25 costumes défectueux, il y en a \(25 × 20\% = 5\) qui sont gris.
Il s’ensuit d’une part qu’il reste 20 costumes défectueux forcément noirs et d’autre part que si 5 costumes gris sont défectueux, alors les 195 autres ne le sont pas. Reste à remplir la case en haut à gauche. C’est un jeu d’enfant de trouver 280.
Ce n'était pas demandé mais ce tableau aurait pu être rempli avec des pourcentages...
Un exercice de gestion avec calculs de pourcentages avec tableur se trouve en page de détermination d'un coût de revient.
Corrigé 2
La première phrase compare deux quantités alors que la deuxième traduit une différence de proportions.
