Vecteurs, aire et volume (bac)
Le problème ci-dessous est un extrait de l’épreuve du bac S, Pondichéry mai 2018. Il s’inscrit aujourd’hui dans le programme de terminale maths de spécialité. Il est bien sûr accompagné d’un corrigé commenté…
Le sujet n’était pas très difficile mais la plupart des questions reposaient sur des réponses aux questions précédentes (questions « à tiroirs »).
Énoncé
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Dans l’espace muni du repère orthonormé \((O\,;\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k )\) d’unité 1 cm, on considère les points \(A,\) \(B,\) \(C\) et \(D\) de coordonnées respectives \((2\, ;1\, ;4),\) \((4\, ;-1\, ;0),\) \((0\, ;3\, ;2)\) et \((4\, ;3\, ;-2).\)
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1- Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((CD).\)
- 2- Soit \(M\) un point de la droite \((CD).\)
a. Déterminer les coordonnées du point \(M\) tel que la distance \(BM\) soit minimale.
b. On note \(H\) le point de la droite \((CD)\) ayant pour coordonnées \((3\, ;3\, ;-1).\) Vérifier que les droites \((BH)\) et \((CD)\) sont perpendiculaires.
c. Montrer que l’aire du triangle \(BCD\) est égale à 12 cm².
- 3- a. Démontrer que le vecteur \(\overrightarrow n \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
1\\
2
\end{array}} \right)\) est un vecteur normal au plan \((BCD).\)
b. Déterminer une équation cartésienne du plan \((BCD).\)
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(Δ\) passant par \(A\) et orthogonale au plan \((BCD).\)
d. Démontrer que le point \(I,\) intersection de la droite \(Δ\) et du plan \((BCD)\) a pour coordonnées \(\left(\frac{2}{3}\, ;\frac{1}{3}\, ;\frac{8}{3}\right).\)
- 4. Calculer le volume du tétraèdre \(ABCD.\)
Corrigé
1- Déterminons d’abord un vecteur directeur de la droite \((CD).\)
\(\overrightarrow {CD} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
4\\
0\\
{ - 4}
\end{array}} \right).\) Nous pourrions nous en satisfaire mais un vecteur que nous appellerons \(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0\\
{ - 1}
\end{array}} \right)\) qui lui est colinéaire sera plus pratique d’emploi.
Nous savons que la droite passe par le point \(C(0\, ;3\, ;2).\)
Donc une représentation paramétrique de \((CD)\) peut s’écrire (avec \(t ∈ \mathbb{R}\)) :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = t}\\
{y = 3}\\
{z = 2 - t}
\end{array}} \right.\)
2-a. Si l’on associe le paramètre \(t\) à \(M\) nous pouvons écrire \(M(t\, ; 3\, ; 2-t).\)
Pour que la distance soit minimale, il faut minimiser la distance \(BM^2.\) Rappelons que les coordonnées de \(B\) sont \(B(4\, ; -1\, ;0).\)
\(BM^2 = (t-4)^2 + 4^2 + (2-t)^2\)
\(⇔ BM^2 = t^2 - 8t + 16 + 16 + 4 - 4t + t^2\)
\(⇔ BM^2 = 2t^2 - 12t + 36\)
Un polynôme de la forme \(at^2 + bt + c\) avec \(a > 0\) admet un minimum en \(t = -\frac{b}{2a}\) (programme de première).
Donc \(t = -\frac{-12}{4} = 3.\)
Par conséquent, \(M (3\, ;3\, ;-1).\)
b. Encore une question plutôt facile…
Les droites \((BH)\) et \((CD)\) sont perpendiculaires si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.
\(\overrightarrow {BH} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
4\\
{ - 1}
\end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {CD} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
4\\
0\\
{ - 4}
\end{array}} \right)\)
\(\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {CD} = - 4 + 0 + 4 = 0\)
Donc les droites \((BH)\) et \((CD)\) sont perpendiculaires.
c. Là, il fallait se souvenir de la formule de l’aire d’un triangle à partir de sa hauteur puisque nous venons de montrer que \((BH)\) est la hauteur issue de \(B\) dans le triangle \(BCD.\)
\(\mathscr{A}_{BCD} = \frac{1}{2} × CD × BH\)
\(CD = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{32}\)
\(BH = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{18}\)
\(\mathscr{A}_{BCD} = \frac{ \sqrt{32} × \sqrt{18}}{2} = 12\)
L’aire du triangle \(BCD\) est bien égale à 12 cm².
3-a. \(\overrightarrow {BC}\) et \(\overrightarrow {CD} \) n’étant pas colinéaires, ils définissent un plan (Cf. page sur la géométrie vectorielle dans l'espace). Pour montrer que \(\overrightarrow{n}\) est normal au plan \((BCD)\) il suffit de montrer que les produits scalaires \(\overrightarrow{n} .\overrightarrow {BC}\) et \(\overrightarrow{n} .\overrightarrow {CD}\) sont nuls.
\(\overrightarrow{n} .\overrightarrow {BC} = -8 + 4 + 4 = 0\)
\(\overrightarrow{n} .\overrightarrow {CD} = 8 - 8 = 0\)
\(\overrightarrow{n}\) étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \((BCD),\) il est normal à celui-ci.
b. On se sert d’abord des coordonnées de \(\overrightarrow{n}\) :
\(2x + y + 2z + d = 0\)
Pour trouver \(d\) on utilise les coordonnées de l’un des trois points connus du plan. Choisissons \(B.\)
\(2 \times 4 - 1 + d = 0\) d’où \(d = -7.\)
\(2x + y + 2z - 7 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((BCD).\)
c. Puisque \(Δ\) est orthogonale à \((BCD)\) elle a \(\overrightarrow{n}\) pour vecteur directeur.
Une représentation paramétrique de \(Δ\) est donc, avec \(t ∈ \mathbb{R}\) :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2t + 2}\\
{y = t + 1}\\
{z = 2t + 4}
\end {array}} \right.\)
d. Les coordonnées de \(I\) doivent vérifier l’équation \(2x + y + 2z - 7 = 0.\)
Trouvons \(t\) qui satisfait la représentation paramétrique.
\(2(2t + 2) + (t + 1) + 2(2t + 4) - 7\) \(=\) \(0\)
On trouve \(t = -\frac{2}{3}\) et l’on en déduit facilement \(I(\frac{2}{3}\, ; \frac{1}{3}\, ; \frac{8}{3}).\)
4- Nous avons établi à la question 3 que \((AI)\) était une hauteur du tétraèdre \(ABCD.\)
\(IA = \sqrt{(2 - \frac{2}{3})^2 + (1 - \frac{1}{3})^2 + (4 - \frac{8}{3})^2}\)
\(⇔ IA = \sqrt{\frac{36}{9}} = 2\)
Si vous vous souvenez de la formule du volume d'un tétraèdre…
\(\mathscr{V} = \frac{1}{3} × AI × \mathscr{A}\) \(=\) \(\frac{1}{3} × 2 × 12\) \(=\) \(8\)
Le volume du tétraèdre \(ABCD\) s’établit à 8 cm3.
