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(et fondements mathématiques)

La représentation paramétrique d'une droite

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Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace

Nous nous situons dans un espace repéré. Si l’on connaît un point par lequel passe une droite et un vecteur directeur de cette même droite, alors cette dernière peut être exprimée d’une façon bien particulière : la représentation paramétrique.

Définition

Soit (D) une droite passant par le point A de coordonnées (xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur non nul...

u (a;b;c)

Une représentation paramétrique de (D) est le système d’équations :

représentation paramétrique

Démonstration

Le point M(x ; y ; z) appartient à la droite (D) (définie ci-dessus) si et seulement si les vecteurs suivants sont colinéaires :

AM et u

Or, ils le sont s’il existe un réel t tel que :

AM = tu

… ce qui revient à poser le système :

système

Remarques

Une droite admet une infinité de représentations paramétriques, selon la position du point A et le vecteur directeur utilisé.

t est le paramètre de la représentation, d’où le nom.

Si t est positif, les vecteurs AM et u sont de même sens. On obtient une représentation paramétrique de la demi-droite d’origine A.

Exemple

Soit un espace muni d’un repère (O ; i ; j ; k). Quelle peut être une représentation paramétrique de la droite passant par le point A(2 ; 1 ; -3) et de vecteur directeur u(4 ; -7 ; -2) ?

Réponse :

réponse

Plutôt facile, non ?

Exercice

Soit deux droites (D) et (D’) d’équations paramétriques :

(D)

(D')

Trouver les coordonnées du point A, intersection de (D) et(D’), s’il existe.

Corrigé

Les coordonnées de A doivent vérifier les deux systèmes. Donc :

égalité systèmes

Il s’agit d’un système de trois équations à deux inconnues.

étape 1

étape 2

étape 3

étape 4

étape 5

étape 6

La troisième équation est vérifiée : (-2) × (-3) + 2 × 5 = 16.

Nous remplaçons donc t et k par leurs valeurs dans l’une des deux représentations paramétriques.

x=-10  y=22  z=3

Par conséquent, le point d’intersection des droites (D) et (D’) est A(-10 ; 22 ; 3).

Autres exercices en page vecteur directeur et géométrie au bac S.

 

 

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