La représentation paramétrique d'une droite

Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace

On ne dirait pas, comme ça, mais une droite peut, paradoxalement, donner du fil à retordre.

Nous nous situons dans un espace repéré. Si l’on connaît un point par lequel passe une droite et un vecteur directeur de cette même droite, alors cette dernière peut être exprimée d’une façon bien particulière : la représentation paramétrique.

 

Définition

Soit \((D)\) une droite passant par le point \(A\) de coordonnées \((x_A\,;y_A\,;z_A)\) et de vecteur directeur non nul...

\(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b\\ c \end{array}} \right)\)

Une représentation paramétrique de \((D)\) est le système d’équations :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = at + {x_A}}\\ {y = bt + {y_A}}\\ {z = ct + {z_A}} \end{array}} \right.\)

Il s’agit de la représentation paramétrique de \((D)\) (ou système d’équations paramétriques de \((D)\)).

 

Démonstration

Le point \(M(x\,;y\,;z)\) appartient à la droite \((D)\) (définie ci-dessus) si et seulement si les vecteurs suivants sont colinéaires :

\(\overrightarrow {AM} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x - {x_A}}\\ {y - {y_A}}\\ {z - {z_A}} \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b\\ c \end{array}} \right)\)

Or, ils le sont s’il existe un réel \(t\) tel que \(\overrightarrow {AM} = t\overrightarrow u \) ce qui revient à poser le système :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - {x_A} = at}\\ {y - {y_A} = bt}\\ {z - {z_A} = ct} \end{array}} \right.\)

Ce système équivaut à celui présenté plus haut.

 

Remarques

Une droite admet une infinité de représentations paramétriques, selon la position du point \(A\) et le vecteur directeur utilisé.

\(t\) est le paramètre de la représentation, d’où le nom.

Si \(t\) est positif, les vecteurs \(\overrightarrow {AM} \) et \(\overrightarrow {u} \) sont de même sens. On obtient une représentation paramétrique de la demi-droite d’origine \(A.\)

Note : il existe une autre façon d'exprimer une droite dans l'espace. On la considère alors comme l'intersection entre deux plans (voir la page sur les équations cartésiennes dans l'espace).

 

Types d'exercices

1- Pour déterminer un système paramétrique de droite en connaissant les coordonnées d’un point et de l’un de ses vecteurs directeurs, c’est très simple. Il suffit d’appliquer le système présenté plus haut.

Exemple : soit un espace muni d’un repère (\(O\,;\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k ).\) Quelle peut être une représentation paramétrique de la droite passant par le point \(A(2\,;1\,;-3)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow {u} (4\,;-7\,;-2)\) ?

Réponse :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 4t + 2}\\ {y = - 7t + 1}\\ {z = - 2t - 3} \end{array}} \right.\) avec \(t \in \mathbb {R}\)

Plutôt facile, non ?

2- Pour savoir si un point appartient à la droite, il suffit de remplacer les valeurs de \(x,\) \(y\) et \(z\) par les coordonnées de ce point. Si les trois équations vérifient la même valeur de \(t,\) c’est bon !

3- Pour obtenir les coordonnées d’un point quelconque de la droite, il suffit de remplacer \(t\) par un même réel dans les trois équations. En l’absence de contrainte particulière, le plus simple est de remplacer \(t\) par zéro.

Par exemple, la droite définie ci-dessus passe par le point de coordonnées \((2\,;1\,;-3).\)

4- Pour savoir si deux droites sont parallèles, il faut vérifier la proportionnalité de leurs vecteurs directeurs. Prenons un exemple.

Soit la droite \((d)\) représentée comme suit :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - 3 = t}\\
{y + 2 =  - 3t}\\
{z - 1 = 2t}
\end{array}} \right.\)

Et soit \((d’)\) :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - 1 =  - 2k}\\
{y - 6 = 6k}\\
{z + 2 =  - 4k}
\end{array}} \right.\)

Pour déterminer des coordonnées de vecteurs directeurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\), le plus simple est de prendre les coefficients de \(t\) et \(k.\)

\(\overrightarrow{u}(1\, ;-3\, ;2)\) et \(\overrightarrow{v}(-2\, ;6\, ;-4).\)

Nous remarquons que \(\overrightarrow{v} =-2\overrightarrow{u}.\) Les vecteurs étant colinéaires, les deux droites sont parallèles.

5- Pour savoir si deux droites sont sécantes et trouver leur point d’intersection, il faut résoudre un système de trois équations à deux inconnues.

La page d'exercices sur droites sécantes dans l'espace développe ce type de recherche.