Les nombres triangulaires

Somme des n premiers entiers

L’anecdote est célèbre dans le milieu des mathématiques. Alors que le jeune Carl Friedrich Gauss avait neuf ans, sont maître d’école demanda à toute la classe d’additionner les nombres de 1 à 100. Nous ne nous étendrons pas sur les méthodes pédagogiques en vigueur dans le Saint Empire romain germanique en 1786 mais cet instituteur, nommé Büttner, avait certainement envie de se reposer sur ses heures de classe. Bref. Il n’aurait fallu que quelques secondes à Gauss pour donner la réponse, soit 5 050.

Il existe plusieurs techniques pour parvenir au résultat et nous ne savons pas laquelle a été utilisée par le jeune génie. Toujours est-il que la démonstration de la somme des n premiers entiers figure au programme de première S et que nous allons nous y atteler.

Suite arithmétique

La suite (un) des premiers entiers est une suite arithmétique de premier terme u0 = 0 (ou u1 = 1, cela ne change rien à notre affaire) et de raison r = 1.

Soit Sn la somme de ces entiers : Sn = 0 + 1 + 2 + 3 + … + n

Il faut l’exprimer en fonction de n.

Pour cela nous additionnons le premier nombre avec le dernier, le deuxième avec l’avant-dernier et ainsi de suite de sorte à obtenir toujours la même somme, c’est-à-dire n + 1 (dernière ligne).

1 2 3 n – 1 n
n n – 1 n – 2 2 1
n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 n + 1

Nous additionnons les n colonnes constituées de (n + 1) et nous obtenons évidemment n(n + 1).

Bien sûr, il faut diviser ce résultat par 2 puisque nous avons additionné deux fois les n premiers nombres, dans le sens croissant et dans le sens décroissant. D’où la formule :

Donc, si l’on doit additionner les entiers de 1 à 100, on obtient 100 × 101, c’est-à-dire 10 100, que l’on divise par 2, soit 5 050.

Série

Le terme de série n’est pas au programme de première S. Il s’agit d’une suite de sommes de premiers termes d’une suite.

En l’occurrence, nous obtenons S0 = 0, S1 = 1, S2 = 3, S3 = 6, S4 = 10, etc.

Obtenir la liste des premiers termes de cette série est ce que l’on peut faire de plus simple avec un tableur.

un Sn
0 0
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
6 21
7 28
8 36
9 45
10 55
11 66
12 78
13 91
14 105
15 120

Nombres triangulaires

La connaissance des nombres triangulaires n’est pas non plus au programme de première S mais un peu de culture générale ne peut pas faire de mal.

Si vous disposez des billes de façon à obtenir un triangle équilatéral, il vous faudra toujours un nombre de billes donné par Sn. Ceci est parfaitement logique puisque chaque étage du triangle possède une bille de plus que l’étage supérieur.

Ci-dessous sont illustrés les trois premiers triangles. Pour le premier, u1 = 1 et S1 = 1. Le deuxième : u2 = 2 et S2 = 3. Le troisième : u3 = 3 et S3 = 6.

billes

Sn est donc la suite des nombres triangulaires.

Par exemple, pour un = 7, Sn = 28.

un = 7, Sn = 28

Note : un nombre triangulaire ne se termine jamais par 2, 4, 7 ou 9.

Carrés

Poursuivons dans la visualisation mais pour des raisons pratiques nous remplacerons les billes par une mosaïque.

Si à chaque Sn nous ajoutons Sn-1 que remarquons-nous ?

carrés

Eh oui ! Des carrés ! Sn-1 + Sn = un² !

Nous pouvons l’illustrer avec le tableur.

un Sn Sn-1 + Sn = un²
0 0
1 1 1
2 3 4
3 6 9
4 10 16
5 15 25
6 21 36
7 28 49
8 36 64
9 45 81
10 55 100
11 66 121
12 78 144
13 91 169
14 105 196
15 120 225

Si avec ça vous ne trouvez pas que les maths c’est génial…