Entraînement aux calculs de limites de suites
Cette page vous propose quelques exercices sur les limites de suites, de niveau terminale générale spécialité maths. La démonstration de l'exercice 1 est exigible au programme.
Mais auparavant, quelques rappels de limites.
Note : dans toute cette page, \(n\) est un entier naturel. Mais vous vous en doutiez sûrement...
Limites de suites usuelles
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = {0^ + }\]
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt n = + \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt n }} = {0^ + }\]
Soit \(k\) un réel supérieur ou égal à 1.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^k} = + \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = {0^ + }\]
Exercice 1
Démontrer que toute suite croissante non majorée tend vers \(+ ∞.\)
Corrigé 1
Soit \((u_n)\) une suite croissante non majorée et \(A\) un réel quelconque.
\(A\) n’est donc pas un majorant de \((u_n)\) et il existe un entier naturel \(p\) tel que \(u_p > A.\)
\((u_n)\) étant croissante, si \(n>p\) alors \(u_n > u_p.\)
Donc \(u_n > A\).
L’intervalle \(]A\, ;+∞[\) contient toutes les valeurs de \(u_n\) et donc, par définition, \(\mathop {\lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty .\)
Exercice 2
Calculer les limites des suites suivantes.
- \(u_n = n^2 + \sqrt{n} - 3\)
- \(v_n = - \frac{2}{n^3} + \frac{3}{\sqrt{n}} + 4\)
- \(w_n = 3n^2 - 2n + 1\)
Corrigé 2
1- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2} = + \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt n - 3 = + \infty \)
Donc, par somme, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \)
2- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } -\frac{2}{{{n^3}}} = {0^ - }\) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{3}{{\sqrt n }} = {0^ + }\) donc, par somme \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 0 + 0 + 4 = 4\)
3- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {3n^2} = + \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {-2n} = - \infty \)
Il s’agit d’une forme indéterminée. Factorisons par \(n\) (nous pourrions aussi factoriser par \(n^2\)).
\(w_n = n(3n - 2 + \frac{1}{n})\)
La limite du premier facteur est évidemment \(+ ∞.\)
Nous savons que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = {0}\) donc…
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {3n - 2 + \frac{1}{n} } = + \infty \)
Cette fois, aucun doute n’est possible ; l’infini que multiplie l’infini donne l’infini.
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {3n^2 - 2n + 1} = + \infty \)
Exercice 3
Étudier la convergence des suites suivantes.
- \(u_n = \frac{n - 1}{n^2 + 4}\)
- \(v_n = -3 × 2^n + (-0,1)^n\)
- \(w_n = \frac{n^2 - \cos n}{n + 2}\)
Corrigé 3
1- Nous sommes en présence d’une forme indéterminée \(\frac{+ ∞}{+ ∞}.\) On lève l’indétermination en factorisant par le plus haut degré de \(n.\)
\(u_n = \frac{n(1 - \frac{1}{n})}{n^2\left(1 + \frac{4}{n^2}\right)}\)
Donc \(u_n = \frac{1}{n} × \frac{1 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{4}{n^2}}\)
La limite du premier facteur est égale à 0. La limite du second facteur est égale à \(\frac{1}{1} = 1.\) Comme \(0 × 1 = 0\) nous obtenons \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\frac{n - 1}{n^2 + 4}} = 0.\) La suite \((u_n)\) est convergente.
2- Cette limite n’est même pas indéterminée ! En effet, \((v_n)\) est la somme de \(-3 × 2^n\) dont la limite est \(- ∞\) et de \((-0,1)^n\) dont la limite est 0 (voir la page sur les limites des suites de type \(u_n = q^n\)).
Le limite étant de la forme \(- ∞ + 0\) nous pouvons affirmer que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {3 × 2^n + (-0,1)^n } = -\infty \)
La suite \((v_n)\) est divergente.
3- Nous savons que \(0 < \cos n < 1.\) Par conséquent nous sommes en présence d’une forme indéterminée de type \(\frac{∞}{∞}.\)
Vous connaissez maintenant la procédure : on factorise !
\(w_n = \frac{n^2}{n} × \frac{1 - \frac{\cos n}{n ^2}}{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}\) \(= n \times \frac{1 - \frac{\cos n}{n ^2}}{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\frac{\cos n}{n ^2}} = 0\) donc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {1 - \frac{\cos n}{n ^2}} = 1\)
Par somme, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}} = 0^+\)
Une expression de la forme \(\frac{1}{0^+}\) a pour limite \(+ \infty.\)
À présent il n'y a plus aucune indétermination mais un produit de deux limites infinies.
Par conséquent \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {w_n} = + \infty\)
\((w_n)\) est divergente.
