Des exercices sur les limites de suites

Entraînement aux calculs de limites de suites

Cette page vous propose quelques exercices sur les limites de suites, de niveau terminale générale spécialité maths. La démonstration de l'exercice 1 est exigible au programme.

Mais auparavant, quelques rappels de limites.

Note : dans toute cette page, \(n\) est un entier naturel. Mais vous vous en doutiez sûrement...

 

Limites de suites usuelles

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{n} = {0^ + }\]

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \sqrt n  =  + \infty \]

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{\sqrt n }} = {0^ + }\]

Soit \(k\) un réel supérieur ou égal à 1.

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {n^k} =  + \infty \]

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = {0^ + }\]

 

Exercice 1

Démontrer que toute suite croissante non majorée tend vers \(+ ∞.\)

 

Corrigé 1

Soit \((u_n)\) une suite croissante non majorée et \(A\) un réel quelconque.

\(A\) n’est donc pas un majorant de \((u_n)\) et il existe un entier naturel \(p\) tel que \(u_p > A.\)

\((u_n)\) étant croissante, si \(n>p\) alors \(u_n > u_p.\)

Donc \(u_n > A\).

L’intervalle \(]A\, ;+∞[\) contient toutes les valeurs de \(u_n\) et donc, par définition, \(\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty .\)

 

Exercice 2

Calculer les limites des suites suivantes.

  1. \(u_n = n^2 + \sqrt{n} - 3\)
  2. \(v_n = - \frac{2}{n^3} + \frac{3}{\sqrt{n}} + 4\)
  3. \(w_n = 3n^2 - 2n + 1\)

 

Corrigé 2

1- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {n^2} =  + \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \sqrt n  - 3 =  + \infty \)

Donc, par somme, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty \)

2- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } -\frac{2}{{{n^3}}} = {0^ - }\) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{3}{{\sqrt n }} = {0^ + }\) donc, par somme \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} =  0 + 0 + 4 = 4\)

3- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {3n^2} =  + \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {-2n} =  - \infty \)

Il s’agit d’une forme indéterminée. Factorisons par \(n\) (nous pourrions aussi factoriser par \(n^2\)).

\(w_n = n(3n - 2 + \frac{1}{n})\)

La limite du premier facteur est évidemment \(+ ∞.\)

Nous savons que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{n} = {0}\) donc…

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {3n - 2 + \frac{1}{n} } =  + \infty \)

Cette fois, aucun doute n’est possible ; l’infini que multiplie l’infini donne l’infini.

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {3n^2 - 2n + 1} =  + \infty \)

 

Exercice 3

Étudier la convergence des suites suivantes.

  1. \(u_n = \frac{n - 1}{n^2 + 4}\)
  2. \(v_n = -3 × 2^n + (-0,1)^n\)
  3. \(w_n = \frac{n^2 - \cos n}{n + 2}\)

 

Corrigé 3

1- Nous sommes en présence d’une forme indéterminée \(\frac{+ ∞}{+ ∞}.\) On lève l’indétermination en factorisant par le plus haut degré de \(n.\)

\(u_n = \frac{n(1 - \frac{1}{n})}{n^2(1 + \frac{4}{n^2})}\)

Donc \(u_n = \frac{1}{n} × \frac{1 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{4}{n^2}}\)

La limite du premier facteur est égale à 0. La limite du second facteur est égale à \(\frac{1}{1} = 1.\) Comme \(0 × 1 = 0\) nous obtenons \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {\frac{n - 1}{n^2 + 4}} = 0.\) La suite \((u_n)\) est convergente.

2- Cette limite n’est même pas indéterminée ! En effet, \((v_n)\) est la somme de \(-3 × 2^n\) dont la limite est \(- ∞\) et de \((-0,1)^n\) dont la limite est 0 (voir la page sur les limites des suites de type \(u_n = q^n\)).

Le limite étant de la forme \(- ∞ + 0\) nous pouvons affirmer que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {3 × 2^n + (-0,1)^n } =  -\infty \)

La suite \((v_n)\) est divergente.

3- Nous savons que \(0 < \cos n < 1.\) Par conséquent nous sommes en présence d’une forme indéterminée de type \(\frac{∞}{∞}.\)

Vous connaissez maintenant la procédure : on factorise !

\(w_n = \frac{n^2}{n} × \frac{1 - \frac{\cos n}{n ^2}}{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}\) \(= n \times \frac{1 - \frac{\cos n}{n ^2}}{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {\frac{\cos n}{n ^2}} = 0\) donc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {1 - \frac{\cos n}{n ^2}} = 1\)

Par somme, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}} = 0^+\)

Une expression de la forme \(\frac{1}{0^+}\) a pour limite \(+ \infty.\)

À présent il n'y a plus aucune indétermination mais un produit de deux limites infinies.

Par conséquent \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {w_n} = + \infty\)

\((w_n)\) est divergente.