Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

L'encadrement des fonctions

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Théorèmes d'encadrement et de comparaison

Certains problèmes d'encadrement de fonctions sont vus dès la classe de première (voir la page d'exercices sur les positions relatives de courbes). D'autres nécessitent des outils plus élaborés pour être résolus.

La notion de limite est fondamentale pour l’étude des fonctions et de leurs applications théoriques (par exemple, en économie ou en démographie une limite à plus l'infini représente le long terme). Et si vous craignez que les calculs de certaines limites vous provoquent des maux de tête, certaines astuces vous éviteront de vous précipiter à la pharmacie. Voyons-en deux (qui s'appliquent aussi aux limites de suites, voir page propriétés sur les limites de suites).

Le théorème des gendarmes (ou par encadrement, ou du sandwich)

Il ne s’agit pas de remplacer une fonction par une autre équivalente mais de s’aider de deux fonctions pour encadrer celle dont on cherche la limite, que celle-ci soit au voisinage d'un réel ou à l'infini. Soit trois fonctions f, g et h. a est un réel ou l'infini.

théorème des gendarmes

Par exemple…

exemple

La fonction sinus est périodique et n’admet pas de limite à l’infini. Dès lors, comment faire ?

Comme sin x est compris entre -1 et 1, on peut poser x – 1 ≤ x + sin x ≤ x + 1.

On peut d’ailleurs tout diviser par x² + 1, ça ne changera rien à notre encadrement.

encadrement

Et vers quoi tendent les « gendarmes » qui encadrent notre fonction à l’infini ? Vers zéro, puisque leur fonction équivalente/ x tend vers zéro. Finalement, notre fonction tend vers zéro lorsque x tend vers l’infini (comme on s’en doutait intuitivement sur cet exemple simple…).

On le devine aussi en observant les courbes représentatives des fonctions (courbe verte encadrée par la rouge et la bleue) :

gendarmes

Un zoom permet d’apprécier les zigzags entre les gendarmes (graphes réalisés sur Sine qua non).

zoom

Un corollaire au théorème des gendarmes est que le produit d'une fonction de limite nulle et d'une fonction bornée a pour limite zéro (voir la fonction x sin (1 / x)).

NB : certains enseignants ne supportent pas que leurs fonctions chéries soient traitées comme des délinquantes et soient encadrées par des gendarmes. Il faut alors prendre soin d'utiliser le terme plus exact de théorème d'encadrement.

La limite par comparaison

Lorsque la limite d’une fonction tend vers l’infini, il n’est pas nécessaire de l’encadrer des deux côtés. Si, à un voisinage donné, on sait que les valeurs que prend une fonction f sont toujours supérieures ou égales à celles d’une autre fonction g moins retorse pour nous indiquer qu’elle tend vers plus l’infini, il est évident que f en fait de même sur cet intervalle (ci-dessous, a peut être un réel ou l'infini).

limite par comparaison

… et vice versa sur moins l'infini.

Voir par exemple l'utilisation des comparaisons dans le cadre de démonstrations en page limites de la fonction exponentielle.

 

encadrement

 

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