Théorèmes d'encadrement et de comparaison
Certains problèmes d'encadrement de fonctions sont vus dès la classe de première (voir la page d'exercices sur les positions relatives de courbes). D'autres nécessitent des outils plus élaborés pour être résolus.
La notion de limite est fondamentale pour l’étude des fonctions, notamment dans une démarche de modélisation (par exemple, en économie et en démographie où une limite à plus l'infini représente le long terme). Et si vous craignez que les calculs de certaines limites vous provoquent des maux de tête, certaines astuces vous éviteront de vous précipiter à la pharmacie. Voyons-en deux (qui s'appliquent aussi aux limites de suites, voir la page sur les propriétés des limites de suites).
Le théorème des gendarmes
Il s’agit de s’aider de deux fonctions pour encadrer une troisième dont on cherche la limite, que ce soit au voisinage d'un réel ou à l'infini. Soit trois fonctions \(f,\) \(g\) et \(h.\) Quant à \(a\) il est soit un réel soit l'infini.
Si \(g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)\) \(=\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} h(x)\) \(= l,\) alors \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l\)
Note : certains enseignants ne supportent pas que leurs fonctions chéries soient traitées comme des délinquantes et soient encadrées par des gendarmes. Il faut alors prendre soin d'utiliser le terme plus exact de théorème d'encadrement.
Exemple : déterminons \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {+\infty}} \frac{\cos x}{x}\)
La fonction cosinus est périodique. Elle n'admet donc pas de limite à l'infini. Nous devons alors utiliser le théorème de l'encadrement.
Ainsi, nous savons que pour tout réel \(x\) son cosinus est compris entre -1 et 1.
Donc \(-\frac{1}{x} \leqslant \frac{\cos x}{x} \leqslant \frac{1}{x}\)
Or \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {+\infty}} -\frac{1}{x}\) \(=\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {+\infty}} \frac{1}{x}\) \(= 0.\)
Donc, d'après le théorème d'encadrement, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {+\infty}} \frac{\cos x}{x} = 0\)
Illustrons. Ci-dessous est représentée en rouge la courbe de la fonction inverse et en vert celle de son opposée.
Enfin, en bleu est représentée la fonction dont on cherche la limite, \(x \mapsto \frac{\cos x}{x}.\) On voit qu'elle rebondit sur ses deux gendarmes dans un couloir qui se resserre...
Voir aussi l'exercice 3 de la page sur les limites avec racines carrées.
La limite par comparaison
Lorsque la limite d’une fonction tend vers l’infini, il n’est pas toujours nécessaire de l’encadrer des deux côtés. Si, sur un intervalle infini (soit positif soit négatif, selon la limite cherchée), on sait que les valeurs que prend une fonction \(f\) sont toujours supérieures ou égales à celles d’une autre fonction \(g\) moins retorse et dont on sait qu’elle tend vers plus l’infini, il est évident que \(f\) en fait de même sur cet intervalle (ci-dessous, \(a\) peut être un réel ou l'infini).
Si \(f(x) \geqslant g(x)\) et si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = +\infty,\) alors \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = +\infty\)
… et inversement sur moins l'infini.
Prenons un exemple simplissime.
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 + 4.\)
Nous cherchons \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} f(x)\).
Il apparaît que \(f\) est la somme de la fonction carré et de 4. Donc pour tout réel \(x\) notre fonction \(f\) est supérieure à la fonction carré.
Or nous savons que la limite à \(+ \infty\) de la fonction carré est \(+ \infty.\) Donc d'après le théorème de comparaison \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.\)
Voir des exemples d'utilisation des comparaisons dans le cadre de démonstrations en page de limites de la fonction exponentielle.
Exercice corrigé
Soit la fonction \(f: x \mapsto -2x + 5 + \cos x.\) Déterminer sa limite en \(-\infty.\)
Corrigé
Nous savons que \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\)
Par conséquent, \(-2x + 4 \leqslant f(x) \leqslant -2x + 6\)
Les limites d'une fonction affine n'ont rien de mystérieux.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (- 2x + 4) = + \infty \)
Or, \(f(x) \geqslant -2x + 4.\) Donc, par comparaison, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty \)
