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(et fondements mathématiques)

L'alignement de points

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Alignement de trois points dans le plan

Les démonstrations d’alignement de trois points dans le plan font partie du programme de seconde. Après un bref mais néanmoins nostalgique rappel de cours vous trouverez des exercices d’application. Ceux-ci se situent au niveau d’une première S. Comme ils sont assez classiques, ils ne devraient pas s’avérer trop douloureux.

Excuses préalables : les flèches n'étant pas prises en compte par le html, elles manquent sur la plupart des vecteurs ci-dessous.

Rappels du cours de seconde

1- Géométriquement (et même intuitivement), trois points sont alignés s’ils se situent sur une même droite.

2- En termes de vecteurs, les points A, B et C sont alignés si les vecteurs AB et AC (ou AB et CB, ce qui revient au même) sont colinéaires. En effet, deux vecteurs colinéaires ayant un point commun sont les vecteurs directeurs d’une même droite.

3- De façon analytique, on utilise les coordonnées des vecteurs ayant un point commun. Soit les vecteurs suivants :

vecteurs

A, B et C sont alignés si et seulement si xy’ – yx’ = 0

L'exercice 1 de la page colinéarité porte sur l'alignement. Il est du niveau d'une classe de seconde. Les exercices ci-dessous sont d'un niveau de première S, quoique le premier est surtout un rappel de seconde.

Exercice 1

Trois points se sentent perdus dans un plan mais nous les avons repérés : A(-12 ; -7), B(14 ; -6), et C(16 ; -3). Deux questions nous taraudent :

1- A, B et C sont-ils alignés ?

2- Soit D(a ; -2). Déterminer a pour que A, B et D soient alignés.

Exercice 2

Soit un triangle ABC. Les points E, F et G sont définis par :

vecteurs

Montrer que E, F et G sont alignés (indication : exprimer le vecteur EG en fonction de AB et AC).

Exercice 3

Soit les points A(14 ; -5), B(5 ; 4) et C(2 ; 7).

1- Déterminer une équation cartésienne de la droite (d) qui passe par les points A et B.

2- A, B et C sont-ils alignés ?

Corrigé 1

1- Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées respectives dans un repère :

vecteurs

Or, (26 × 4) – (1 × 28) = 76, ce qui n’a rien à voir avec 0. Donc, A, B et C n’ont pas le privilège d’être alignés.

2-

vecteurs

Pour que les points A, B et D soient alignés, il faut que (26 × 5) – (a + 12) = 0, donc 130 – a – 12 = 0. Conclusion : a = 118.

Corrigé 2

Cet exercice illustre la décomposition d'un vecteur dans le plan. Pour s’y retrouver, il peut être utile de tracer la figure (ci-dessous avec GeoGebra).

alignement

L'énoncé nous invite à exprimer le vecteur EG en fonction des vecteurs AB et AC. Il faut utiliser la relation de Chasles et faire apparaître les relations définies dans l’énoncé. Ainsi, EG = EA + AG. Or, comme EA est directement défini par AC nous pouvons écrire EG = -¼ AC + AG.

À présent il nous faut sans tarder faire apparaître le vecteur AB. Soit EG = -¼ AC + ABBG. Pas mal. Mais nous devons nous débarrasser de BG. Or, 8BG = -BC. Cette fois, nous sommes encombrés de BC mais il peut s’effacer pour nous laisser BA et AC. Si vous avez suivi, vous êtes d'accord avec ceci :

vecteur EG

étape suivante

dernière étape

Démontrons à présent l’alignement. Deux remarques : nous n’avons pas encore utilisé l’information FA = ¾ BA et nous devons montrer une colinéarité entre EG et EF.

Comme EG est exprimé en fonction de AC et AB, il faut en faire de même de EF. Donc EF = EA + AF. Traduisons :

vecteur EF

Et là, victoire. Inutile d’observer ces deux vecteurs pendant des heures pour s’apercevoir que…

vecteur EG

Ces deux vecteurs sont colinéaires (l’un est exprimé en fonction de l’autre) et ils ont le point E en commun. Nous avons prouvé que E, F et G sont alignés.

Corrigé 3

1- L’équation cartésienne est de type ax + by + c = 0. À partir des coordonnées de A et de B on détermine le vecteur directeur suivant :

vecteur directeur AB

Soit b = 9 et a = 9. Au point A, l’équation devient (9 × 14) + (9 × -5) + c = 0 d’où c = -81

Une équation de (d) est 9x + 9y – 81 = 0 ou, si l’on divise par 9, x + y – 9 = 0

2- Est-elle exacte en utilisant les coordonnées de C ? Oui car 2 + 7 – 9 = 0

Nous en concluons que C se situe sur (d) et donc que A, B et C sont alignés.

 

points de suspension

 

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