Quelques schémas sagittaux
Un diagramme (ou schéma) sagittal repose, comme son nom l’indique, sur des flèches (en latin, sagitta signifie flèche). C’est juste une façon commode de présenter des relations. Autrefois très courantes dans les cours de maths du collège, ces représentations ont moins le vent en poupe aujourd'hui.
Le principe est simple : les flèches partent des éléments d’un ensemble de départ et pointent vers ceux d’un ensemble d’arrivée.
Nous illustrerons ici quelques concepts mathématiques à l’aide de cet outil. L’ensemble de départ sera toujours \(A\) et celui d’arrivée \(B.\) La plupart des relations seront nommées \(R.\)
Propriétés des relations fonctionnelles
Certains font la distinction entre une application et une fonction (voir les relations fonctionnelles). Ainsi la définition d’une fonction est \(\forall x \in A,\) il existe au plus un élément \(y \in B\) tel que \(x\; R\; y.\) Chaque élément a soit aucune, soit une image.
Si \(R\) est une application, chaque élément de l’ensemble de départ a une image, ce qui revient à considérer une fonction sur son seul ensemble de définition.
\(\forall x \in A,\) il existe un et un seul élément \(y \in B\) tel que \(x\;R\;y.\)
L’injection n’est pas représentée ici mais sur la page qui lui est dédiée.
Si \(R\) est une surjection, tout élément de \(B\) est l’image d’au moins un élément de \(A.\) En d’autres termes, l’ensemble d’arrivée est couvert.
Soit \(f\) une application surjective. \(\forall y \in B,\) il existe un élément \(x \in A\) tel que \(y = f(x).\)
La bijection est la relation la plus facile à mémoriser. L’application est à la fois injective et surjective.
\(\forall y \in B,\) il existe un et un seul \(x \in A\) tel que \(y = f(x).\)
Union
L’union de deux relations \(R\) et \(S\) est vérifiée pour tout couple appartenant à l’union des deux graphes. On la note \(R \cup S.\)
Prenons par exemple la relation \(R\) ci-dessus (la bijection). Soit la relation \(S\) suivante :
L’union est représentée ainsi :
On peut aussi représenter ces relations par des matrices booléennes. L’union est alors obtenue par la somme des deux matrices.
Composition
La relation composée \(S \circ R\) est vérifiée pour tout couple \((a_i, a_j)\) si et seulement si il existe un élément \(a_k\) tel que \((a_i, a_k)\) appartient au premier graphe et \((a_k, a_j)\) appartient au second.
La relation \(R\) suivie de \(S,\) ou \(S \circ R,\) est représentée ci-dessous.
Aucune relation ne part de \(a\) dans le premier graphe ; donc \(a\) n’a pas d’image dans \(S \circ R.\) \(b\) pointe vers \(a\) pour trois raisons (une seule suffirait) : il pointe vers \(a\) dans le premier graphe puis \(a\) pointe vers \(a\) dans le second, il pointe vers \(b\) dans le premier, lequel pointe vers \(a\) dans le second et enfin il pointe vers \(c\) dans le premier, lequel pointe vers \(a\) dans le second...
Une multiplication de matrices booléennes permet d’obtenir ce résultat de façon moins hasardeuse qu’en observant les diagrammes sagittaux.
Le lien avec la théorie des graphes est évident. La multiplication de matrices booléennes (cette fois dans l’algèbre classique et non dans l’algèbre de Boole) aurait d’ailleurs montré qu’il existe trois chemins entre \(b\) et \(a.\)
