Les intersections et réunions d'évènements

La formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

En classe de seconde, on aborde de façon très superficielle la théorie des ensembles afin d’expliquer deux notions : celle d’ensembles numériques et une formule de probabilités bien utile. C’est cette dernière qui fait l’objet de cette page.

Nous nous plaçons dans la situation de tirer des noms à partir d’une liste d’élèves d’un lycée. L’univers Ω est donc l’ensemble des noms d’élèves. L’évènement F signifiera « le nom est celui d’une fille » et l’évènement S signifiera « le nom est celui d’un(e) élève de seconde. Les concepts seront illustrés avec des diagrammes de Venn (réalisés avec Adobe Illustrator).

Rappelons qu'un évènement est un ensemble d'issues possibles (plus précisément un sous-ensemble, ou partie, de l'ensemble Ω). Comme deux types de vocabulaire sont employés ici, l'un probabiliste et l'autre ensembliste, il faut bien garder à l'esprit cette correspondance.

L’intersection

Lorsqu’une issue vérifie deux évènements simultanément, elle fait partie de leur intersection.

L’évènement constitué des issues qui sont à la fois dans l'ensemble F et dans S (c’est-à-dire les filles qui sont en classe de seconde) se note F ∩ S et se dit « F inter S » (en orange ci-dessous).

intersection

Il y a intersection lorsqu’on emploie la conjonction ET. Exemple : être une fille ET être en classe de seconde.

L’union

L’évènement constitué des issues qui sont soit dans un ensemble, soit dans un autre, soit dans les deux simultanément est une union. L’élève est soit une fille, soit un(e) élève de seconde, soit une fille en classe de seconde. On le note F ∪ S et on dit « F union S » (en vert ci-dessous).

réunion

Il y a réunion lorsqu’on emploie la conjonction OU. Exemple : être une fille OU être en classe de seconde.

La formule !

Ces deux notions sont reliées par la formule F ∪ S = F + S – (F ∩ S).

Cette formule est suffisamment intuitive pour ne pas être oubliée. Si l’on rescense tous les élèves qui sont soit des filles, soit en classe de seconde, alors on retient toutes les filles, on les additionne à tous les élèves de seconde… mais on ôte les filles de seconde puisqu’on les a comptabilisées deux fois.

Vers les probabilités

En termes de probabilités : P(F ∪ S) = P(F) + P(S) – P(F ∩ S). La probabilité de tirer le nom d’une fille ou d’un(e) élève de seconde est égale à la probabilité d’obtenir le nom d’une fille plus celle d’obtenir le nom d’un(e) élève de seconde moins la probabilité de tirer le nom d’une fille de seconde.

Démonstration

Nous allons procéder à une démonstration de cette formule de probabilités par disjonction des cas. D’abord, une démonstration dans la situation où la probabilité d’appartenir à un ensemble implique qu’il est impossible d’appartenir à un autre ensemble. Par exemple, la probabilité d’être une fille et celle d’être un garçon.

disjoints

Ensuite, nous étudierons le cas où il est possible d’appartenir à deux ensembles (exemple : être une fille et être en classe de seconde).

Premier cas : les ensembles F et G sont disjoints.

Par exemple, F = {a ; b ; c ; d} et G = {e ; f ; g ; h} (les élèves de ce lycée n'ont pas des noms très compliqués).

P(F) + P(G) = P(a) + P(b) + P(c) + P(d) + P(e) + P(f) + P(g) + P(h).

F ∩ G = Ø donc P(F ∩ G) = 0 (évènements incompatibles, donc probabilité nulle)

P(F  G) + P(F ∩ G) = P(a) + P(b) + P(c) + P(d) + P(e) + P(f) + P(g) + P(h) + 0

Donc P(F  G) = P(F) + P(G) – P(F ∩ G).

Second cas : les ensembles ne sont pas disjoints.

Par cohérence avec notre exemple nous nommerons les évènements F et S mais nous aurions pu les nommer F et G ou A et B

Soit F = {a ; b ; c ; d} et S = {c ; d ; e ; f}

avec issues

P(F) + P(S) = P(a) + P(b) + P(c) + P(d) + P(c) + P(d) + P(e) + P(f).

Seules les issues (ou éléments, avec le vocabulaire ensembliste) c et d appartiennent à l’intersection de F et S. F ∩ S = {c ; d} donc P(F ∩ S) = P(c) + P(d).

F  S = {a ; b ; c ; d ; e ; f} donc P(F  S) = P(a) + P(b) + P(c) + P(d) + P(e) + P(f).

Donc P(F  S) = P(F) + P(S) – P(F ∩ S).

Exemples et exercices

Voir les pages initiations aux probabilités et probabilités et pourcentages.