Autrefois, le dénombrement était étudié au lycée afin d'introduire le vaste chapitre des probabilités. Aujourd'hui, ces dernières sont enseignées de plus en plus tôt dans les études tandis que l'analyse combinatoire connaît un sort inverse.

Souvenez-nous. On dispose d’un certain nombre d’éléments et on cherche à les « combiner ». Combien existe-t-il de possibilités ? Il existe quatre types de situations.

La permutation

La première de ces situations est celle où l’on dispose la TOTALITÉ de n éléments dans un certain ORDRE. Combien de possibilités ? Réponse : n! qui se prononce factorielle (de) n.

Exemple de factorielle :

Nombre de mots de 5 lettres pouvant être écrits avec A, B, C, D et E : 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120.

Par convention, 0! = 1.

NB : la factorielle est une notion importante en statistiques. On la retrouve non seulement dans les règles de combinatoire mais aussi dans la formule de la loi de Poisson. Les mathématiques financières utilisent également les factorielles.

Pour information, il existe des notions issues de la factorielle qui ne sont pas utilisées en statistiques (primorielle, multifactorielle, superfactorielle, hyperfactorielle et sous-factorielle). L’article « Factorielle » de Wikipédia épanchera votre soif de culture générale sur le sujet, mais pas forcément sur l’utilité pratique de ces concepts.

La p-liste

Là aussi, l’ordre a son importance, mais on peut réutiliser un élément plusieurs fois (p fois). Le nombre de possibilités est chaque fois de n. Peu importe que ce n soit inférieur, égal ou supérieur à p. On cherche donc n^p. Sans forcément l'appeler p-liste, c'est en principe par ce calcul qu'on aborde au lycée les probabilités indépendantes.

Exemple de p-list :

Nombre de possibilités de codes de carte bancaire à 4 chiffres : 10⁴ = 10 000.

L’arrangement

Cette notion est un peu moins utilisée. On ne prend qu’une seule fois un certain nombre d’éléments de l’ensemble (contrairement à la permutation) en s’attachant à l’ordre.

Exemple d’arrangement :

15 chevaux sont partants. Combien de possibilités de tiercés dans l’ordre existe-t-il ?

S’il n’y avait que trois chevaux partants, on se trouverait dans la situation d’une factorielle. Et comme l’arrivée des deux premiers impliquerait forcément la place du troisième, on peut constater la double égalité suivante :

Une façon très matheuse de présenter les choses est de considérer d'une part l'ensemble des places d'arrivée (premier, deuxième...) et d'autre part l'ensemble des partants, puis de considérer l'arrangement comme une injection du premier ensemble sur le deuxième (du moins en l'absence d'ex-aequos) au contraire de la permutation qui est une bijection.

La combinaison

À la différence de l’arrangement, on se moque de l’ordre. La notion de combinaison est particulièrement importante en statistiques. Passons tout de suite à la formule (et aux deux formes d’écriture en usage) encore que la fonction COMBIN d'Excel devrait suffire à votre bonheur...

n et p s’appellent les coefficient binomiaux (on les retrouve dans la formule de la loi binomiale)

Exemples de combinaison :

Combien de mains de 5 cartes sont-elles possibles sur un jeu de 52 ? Réponse : 2 598 960.

Et combien avec deux as seulement ?

Autre exemple : pendant les trois minutes qui précèdent une réunion, les 30 participants se serrent tous la main. 435 poignées de mains échangées ! Effarant...

Le triangle de Pascal est une « table » des combinaisons, réalisable sur tableur en quelques secondes. On indique 1 pour chaque cellule de la colonne 0, également 1 sur la diagonale n × p et tous les autres nombres sont la somme de celui du dessus et de celui dessus à gauche. Extrait :

On lit par exemple que :

Ce triangle se résume d’ailleurs de façon très simple par une relation de récurrence :

Le binôme de Newton constitue une utilisation célèbre du triangle de Pascal.