Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Exercices sur des intersections de courbes

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Exercices sur intersections (niveaux seconde et première)

Au lycée, une question revient souvent dans les exercices de maths. Il s’agit de trouver en quel(s) point(s) se croisent deux courbes ou deux droites. Elle est très liée à une autre problématique, celle des positions relatives de courbes.

Le mode d’emploi est simple. Pour connaître l’abscisse x du point de croisement, il faut égaliser les deux expressions algébriques des fonctions dont les courbes sont les représentations graphiques. Ce qui revient aussi à faire la différence entre les deux, donc à obtenir une troisième fonction, puis à chercher en quel(s) point(s) elle s’annule. Parfois, l'équation est impossible à résoudre et il faut se rabattre sur une solution approchée grâce au théorème des valeurs intermédiaires (programme de terminale).

Sur cette page des exercices illustrent quelques situations. Le niveau d’étude requis pour chacun est indiqué (seconde et première uniquement). Les corrigés ne sont pas rédigés tels qu’attendus par les profs mais de façon à faire comprendre les mécanismes mathématiques.

Exercice 1 : croisement de deux droites (niveau seconde ou première STMG)

Voir la page fonctions affines.

Exercice 2 : croisement entre une droite et une courbe (niveau seconde ou première STMG)

Soit les fonctions définies sur R f(x) =  + x – 6 et g(x) = x – 2

En quel(s) point(s) leurs courbes se croisent-elles ?

Exercice 3 : croisement de courbes représentant des fonctions homographiques (niveau seconde)

Soit les fonctions homographiques suivantes, définies respêctivement sur R \ {3} et sur R \ {-1} :

fonctions homographiques

En quel(s) point(s) ces courbes se croisent-elles ?

Exercice 4 : croisement entre une droite et une courbe (niveau première)

Voir la page exercices sur le second degré (ex. 2 bis)

Exercice 5 : croisement de courbes de coûts (première ES)

Voir la page exercice sur fonctions de coûts

Exercice 6 : croisement entre une droite paramétrée et une courbe (première S)

Soit la fonction f(x) =  + 4x – 5 et D sa parabole représentative. Soit une droite d d’équation y = 6xm.  Déterminer pour quelles valeurs de m la courbe et la droite ont zéro, un ou deux points d’intersection. Donner les coordonnées du point d’intersection lorsque celui-ci est unique. Lorsqu’il existe deux points A et B, donner l’ensemble des coordonnées possibles des milieux de [AB].

Corrigé 2

Il faut poser f(x) = g(x) donc :  + x – 6 = x – 2
⇔  + x – 6 – x + 2 = 0
x² – 4 = 0

Nous reconnaissons une identité remarquable.

(x – 2)(x + 2) = 0 ⇔ = 2 ou x = -2

Attention, l’exercice n’est pas terminé puisque nous cherchons des points et pas seulement leurs abscisses. Il faut donc remplacer x par -2 et 2, soit dans f soit dans g (plus facile).

g(-2) = -2 – 2 = -4 et g(2) = 2 – 2 = 0.

Donc les courbes se croisent aux points d’intersection (-2 ; -4) et (2 ; 0). Je vous laisse le soin de le vérifier sur votre calculatrice graphique.

Corrigé 3

Posons :

équation

Il faut d’abord passer le second membre à gauche.

second membre à gauche

Une mise sous le même dénominateur s’impose.

dénominateur commun

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.

(x + 1)(x + 2) – (x – 4)(x – 3) = 0
⇔  ( + 2x + x + 2) – ( – 3x – 4x + 12) = 0
 + 3x + 2 –  + 7x – 12 = 0
⇔10x – 10 = 0
x = 1

Il reste à remplacer x par 1, soit dans f soit dans g, pour obtenir l’ordonnée du point cherché. f(1) = -1. Il a donc pour coordonnées (1 ; -1).

Corrigé 6

Les abscisses des points d’intersection de D et d sont solutions de l’équation f(x) = 6x – m.

D’où  + 4x – 5 – 6x + = 0, donc – 2x – 5 + m = 0

Le calcul du discriminant conduit à Δ = (-2)² - 4(-5 + m) = 24 + 4m. Il est nul si m = -6, positif si m > -6 et négatif si m < -6. Par conséquent, D et d se croisent en deux points si et seulement si m > -6.

Quelles sont les coordonnées du point d’intersection lorsqu’il est unique ?

+ 4x – 5 = 6x – 6 ⇔  – 2x + 1 = 0, Δ est évidemment nul et x = 2 / 2 = 1. Comme f(1) = 0, le point d’intersection, lorsqu’il est unique, est (1 ; 0). Vous pouvez d’ailleurs le vérifier en calculant l’équation de la tangente à la courbe pour x = 1. Vous trouverez bien sûr y = 6x – 6.

Rappelons quel est le milieu de [AB] (programme de seconde) :

milieu

Ici, nous avons...

abscisse du milieu

L’abscisse est toujours égale à 1 et l’ordonnée du point est strictement positive puisque nous avons vu que y = 0 correspond à l’ordonnée du point où D et d se touchent (strictement positive et non négative puisque f est convexe). Donc, pour tout m > -6, l’ensemble des milieux des segments [AB] est la demi-droite verticale définie par (x = 1 et y > 0).

 

courbes croisées

 

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