L'indépendance de plusieurs évènements

Succession d'évènements indépendants

Cette page a été rédigée pour les élèves de terminale générale, maths de spécialité. Rien de révolutionnaire par rapport à ce qui a été vu en première sur les probabilités indépendantes (pour l’instant !).

 

Formule

Deux évènements \(A\) et \(B\) sont indépendants si \(P(A ∩ B) = P(A) × P(B).\)

De même, \(P(A ∩ B ∩ … ∩ Z)\) \(=\) \(P(A) × P(B) × … × P(Z).\)

 

Univers

L’univers \(Ω\) est donc un produit cartésien d’épreuves indépendantes.

Le dénombrement d'évènements indépendants nécessite souvent l’utilisation des puissances.

Notamment, la détermination d'un univers des possibles peut être établi par une p-liste. Supposons que vous répondiez complètement au hasard à un QCM de dix questions avec chaque fois quatre possibilités dont une seule exacte. Il existe \(4^{10}\) possibilités, c’est-à-dire que vous aurez une chance sur 1 048 576 d’avoir tout juste. C’est le nombre d’issues possibles qui est élevé à la puissance « nombre de tirages ».

 

Probabilités

Une fois connu le nombre de cas favorables, on les pondère par leurs probabilités.

En guise d’exemple, prenons la dernière question proposée au bac ES de Nouvelle-Calédonie en 2007. Les questions précédentes ont été traitées en page de probabilités. On y évoque des pièces dont \(40\%\) ont le défaut A.

    À trois moments différents, on choisit au hasard une pièce parmi les pièces défectueuses qui ont un seul défaut. On suppose que ces tirages s’effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante. Calculer la probabilité pour que, sur les trois pièces choisies, exactement 2 pièces aient le défaut A.

Cette question n’appelle pas le calcul d’une p-liste mais celui d’une combinaison de deux éléments pris parmi trois. On peut se servir du triangle de Pascal, compter le nombre de branches d'un arbre pondéré ou tout simplement calculer le coefficient binomial avec la calculatrice.  Mais comme il y a très peu de possibilités, il est aussi simple de les lister ! Trois possibilités : \((A, A, \bar A),\) \((A, \bar A, A)\) et \((\bar A, A, A).\)

La réponse à la question est \(3 × 0,4^2 × 0,6\) \(=\) \(0,288.\)

Visualisons-le (les branches concernées ont été surlignées) :

 

Succession d'épreuves binaires

Lorsque la possibilité est binaire, de type succès ou échec, on se trouve dans le cadre d’un schéma de Bernoulli. Quand plusieurs tirages se succèdent de façon indépendante avec les mêmes probabilités d'occurrence (comme dans l’exemple précédent), on utilise la loi binomiale afin de connaître directement le résultat, sans avoir à déterminer l’univers (les puissances sont directement appliquées aux probabilités).

 

Succession d’épreuves non binaires

Les questions qui peuvent vous être posées sont dans cet extrait du sujet du bac S Antilles-Guyane de 1995.

    Une épreuve consiste à jeter une fléchette sur une cible partagée en trois cases notées 1, 2, 3. Deux concurrents A et B sont en présence. On admet qu'à chaque lancer, chacun d'eux atteint une case et une seule et que les lancers sont indépendants. Pour le concurrent A, les probabilités d'atteindre les cases 1, 2, 3 sont dans cet ordre : \(\frac{1}{12},\) \(\frac{1}{3},\) \(\frac{7}{12}.\) (...)
    Le concurrent A lance la fléchette trois fois. Les résultats des trois lancers sont indépendants.
    a. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne chaque fois la case 3 ?
    b. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne les cases 1, 2, 3 dans cet ordre ?
    c. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne les cases 1, 2, 3 ?

La question a ne réclame pas de calculs très compliqués ! Nommons \(P(C)\) cette probabilité.

\(P(C) = (\frac{7}{12})^3 = \frac{343}{1728}\) soit environ une fois sur cinq.

La question b n'est pas difficile non plus. Soit \(P(D)\) la probabilité cherchée.

\(P(D) = \frac{1}{12} × \frac{1}{3} × \frac{7}{12} = \frac{7}{432}\)

Question c. Contrairement à la question précédente, il n'y a pas d'ordre. Chiffrons le désordre. Ceci revient à trouver le nombre de permutations pour aboutir au même résultat que \(P(D).\)

On sait qu'il existe \(3!\) permutations possibles avec trois éléments, soit 6. Si l'on nomme \(P(E)\) la probabilité cherchée, nous obtenons donc \(P(E) = 6P(D) = \frac{7}{12}.\)

Le concurrent a sept chances sur douze d'atteindre les trois cases en trois lancers.

 

Pour aller plus loin

(Hors programme de terminale)

En pratique, l'étude des jeux de hasard ne représente qu'une infime part des problématiques probabilistes. Aussi est-il exceptionnel de détecter une indépendance parfaite dans une recherche concrète. Cette situation montre plutôt que le statisticien a conduit une étude stupide. Ainsi, on admet qu'il y a indépendance entre un couple de variables aléatoires à partir d'un certain seuil. Celui-ci est déterminé par des tests, en particulier par celui du khi².